VIVIANE DURAND-GUERRIER and GILBERT ARSAC AN EPISTEMOLOGICAL AND DIDACTIC STUDY OF A SPECIFIC CALCULUS REASONING RULE ABSTRACT. It is widely attested that university students face considerable difficulties with reasoning in analysis, especially when dealing with statements involving two different quantifiers. We focus in this paper on a specific mistake which appears in proofs where one applies twice or more a statement of the kind “for all X, there exists Y such that R(X, Y)”, and forgets that in that case, a priori, “Y depends on X”. We analyse this mistake from both a logical and mathematical point of view, and study it through two inquiries, an historical one and a didactic one. We show that mathematics teachers emphasise the importance of the dependence rule in order to avoid this kind of mistake, while natural deduction in predicate calculus provides a logical framework to analyse and control the use of quantifiers. We show that the relevance of this dependence rule depends heavily on the context: nearly without interest in geometry, but fundamental in analysis or linear algebra. As a consequence, mathematical knowledge is a key to correct reasoning, so that there is a large distance between beginners’ and experts’ abilities regarding control of validity, that, to be shortened, probably requires more than a syntactic rule or informal advice. R ´ ESUM ´ E. Les difficult´ es de manipulation, par les ´ etudiants, des ´ enonc´ es contenant deux quantificateurs diff´ erents, rencontr´ es dans de nombreux raisonnements en analyse, sont bien attest´ ees. Nous nous int´ eressons plus sp´ ecialement dans cet article ` a une erreur qui apparaˆ ıt dans certaines preuves lorsque l’on applique deux fois ou plus un ´ enonc´ e de la forme “pour tout X, il existe Y tel que R(X,Y)” et que l’on oublie que dans un tel cas, a priori, “Y d´ epend de X”. Nous analysons cette erreur d’un point de vue logique et d’un point de vue math´ ematique, puis nous l’´ etudions ` a travers deux enquˆ etes, l’une historique et l’autre didactique. Nous montrons que les professeurs de math´ ematiques soulignent l’importance de la r` egle de d´ ependance pour ´ eviter ce type d’erreur, tandis que la d´ eduction naturelle dans le calcul des pr´ edicats fournit un cadre de r´ ef´ erence logique pour analyser et contrˆ oler l’usage des quantificateurs. Nous montrons que la pertinence de la r` egle de d´ ependance d´ epend fortement du contexte: pratiquement sans int´ erˆ et en g´ eom´ etrie, elle est tout ` a fait fondamentale en analyse et en alg` ebre lin´ eaire. De ce fait, les connais- sances math´ ematiques sont la cl´ e d’un raisonnement correct, si bien qu’il y a une grande distance entre le d´ ebutant et l’expert concernant le contrˆ ole de la validit´ e, que quelques r` egles syntaxiques ou quelques conseils informels ne permettent vraisemblablement pas de r´ eduire. KEY WORDS: AE and EA statements, calculus, dependence rule, didactic inquiry, his- torical inquiry, mathematical practice, natural deduction, predicate calculus, semantics, syntax Educational Studies in Mathematics (2005) 60: 149–172 DOI: 10.1007/s10649-005-5614-y C  Springer 2005