287 ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК, 2019, том 486, № 3, с. 287–291 МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА УДК 517.9 РЕШЕНИЯ С ФУНКЦИОНАЛЬНЫМ РАЗДЕЛЕНИЕМ ПЕРЕМЕННЫХ ДВУХ КЛАССОВ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ А. Д. Полянин 1,2, * , А. И. Журов 1, ** Представлено академиком РАН Ф.Л. Черноусько 27.12.2018 г. Поступило 10.01.2019 г. Описана новая модификация метода построения решений с функциональным разделением перемен- ных нелинейных уравнений математической физики. Решения ищутся в виде неявной зависимости, которая содержит несколько свободных функций (конкретный вид этих функций определяется далее путем анализа возникающих функционально-дифференциальных уравнений). Эффективность мето- да иллюстрируется на нелинейных уравнениях реакционно-диффузионного типа и уравнениях типа Клейна–Гордона с переменными коэффициентами, которые зависят от одной или нескольких произ- вольных функций. Получен ряд новых точных решений с функциональным разделением переменных и решений типа обобщённой бегущей волны. Ключевые слова: решения с функциональным разделением переменных, реакционно-диффузионные уравнения, уравнения типа Клейна–Гордона, функционально-дифференциальные уравнения, точные решения в неявном виде. DOI: https://doi.org/10.31857/S0869-56524863287-291 1 Институт проблем механики им. А.Ю. Ишлинского Российской Академии наук, Москва 2 Национальный исследовательский ядерный университет МИФИ, Москва *E-mail: polyanin@ipmnet.ru **E-mail: zhurov@ipmnet.ru 1. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ Для конкретности будем рассматривать нелиней- ные уравнения математической физики, в которых ищется функция u uxt =(,) . Идея предлагаемого в сообщении метода поиска точных решений с функциональным разделением переменных, заданных в неявной форме, основана на обобщении решений типа бегущей волны нели- нейных уравнений теплопроводности и волновых уравнений. До описания метода приведем сначала два простых примера, которые иллюстрируют суще- ствование решений, заданных в неявном виде. П р и м е р 1. Рассмотрим нелинейное уравнение теплопроводности u fuu t x x =[ ( ) ], (1) где fu () — произвольная функция. Уравнение (1) допускает точное решение типа бегущей волны u uz =() , z t kx = λ+ , где k и λ — произвольные по- стоянные, а функция uz () описывается уравнением λ′ ′′ u k fuu z z z = [() ] 2 . Общее решение этого уравнения можно представить в неявном виде k f u du u C t kx C 2 1 2 () = , ∫ + + + λ λ (2) где C 1 и C 2 — произвольные постоянные. В правой части инвариантная переменная z была заменена на исходные переменные x и t. П р и м е р 2. Нелинейное волновое уравнение u fuu tt x x =[ ( ) ], (3) где fu () — произвольная функция, также допускает решение типа бегущей волны u uz =() , z t kx = λ+ , которое может быть представлено в неявном виде ∫ − + + [ () ] = ( ) . 2 2 1 2 kfu du C t kx C λ λ (4) Из примеров 1 и 2 видно, что нелинейные урав- нения (1) и (3), зависящие от произвольной функции fu ( ), имеют решения типа бегущей волны, которые можно представить в неявной форме. Этот факт бу-