Equa¸ c˜ ao de Langevin Fracion´ aria Generalizada Rubens F. Camargo, Ary O. Chiacchio, Departamento de Matem´atica - Imecc - Unicamp 13081-970, Campinas, SP rubens@ime.unicamp.br ary@ime.unicamp.br Edmundo C. Oliveira, Departamento de Matem´atica Aplicada - Imecc - Unicamp 13081-970, Campinas, SP capelas@ime.unicamp.br Resumo Apresenta-se a assim chamada equa¸ c˜ao de Langevin fracion´aria generalizada, para uma part´ ıcula de massa unit´ aria, no caso em que n˜ ao h´ a um campo determin´ ıstico. As derivadas fracion´ariass˜ ao consideradas no sentido de Ca- puto e a solu¸ c˜ao da equa¸ c˜ao´ e obtida atrav´ es da metodologia da transformada de Laplace. Como casos particulares, recuperamos alguns resultados recentes. Introdu¸ c˜ ao Nos ´ ultimos dez anos tem havido um con- sider´ avel crescimento no n´ umero de processos envolvendo difus˜ao anˆ omala [13]. Estes processos ocorrem em in´ umeras ´ areas do conhecimento como, por exemplo, na Biologia [6, 10] e na F´ ısica [1, 3, 12]. Em um recente trabalho [16] uma fun¸ c˜ao de Mittag-Leffler foi introduzida no estudo da equa¸ c˜aocin´ etica, deslocamentos aleat´ orios e difus˜ao anˆ omala. Outro recente trabalho [20] mostra a solu¸ c˜aoanal´ ıtica da equa¸ c˜ao de Langevin associada ao problema de uma part´ ıcula harmonicamente confinada. Os mes- mos autores [21] apresentam e discutem a di- fus˜ ao anˆ omala induzida por uma fun¸ c˜aode Mittag-Leffler correlacionada a um ru´ ıdo, na qual os autores apresentam alguns casos par- ticulares que caracterizam o ru´ ıdo. Al´ em disso, de acordo com o valor do expoente da difus˜ao anˆomala,s˜ ao mencionados os casos de subdi- fus˜ ao e superdifus˜ao. Tamb´ em neste trabalho s˜ ao citados alguns artigos nos quais a teoria foi aplicada com sucesso. Mencionamos ainda, que a difus˜ao anˆomala desempenha um impor- tante papel no estudo do conhecido problema da equa¸ c˜ao de onda e da equa¸ c˜ao de rea¸ c˜ao- difus˜ao[8]. Uma forma natural de se estudar a difus˜ao anˆomala´ e atrav´ es da equa¸ c˜ao de Langevin generalizada [14]. No referido artigo os au- tores mostram como o comportamento de longo prazo do deslocamento m´ edio quadr´ atico, para os sistemas descritos pela equa¸ c˜aodeLangevin generalizada, dependem das propriedades da fun¸ c˜ao de correla¸ c˜aoedon´ ucleo de mem´ oria. Aqui estudamos a vers˜ ao fracion´aria da equa¸ c˜ao de Langevin generalizada na ausˆ encia de um campo determin´ ıstico 1 . Este trabalho est´ a disposto da seguinte maneira: Na Se¸ c˜ao 1 apresentamos alguns resultados associados ` a cl´ assica equa¸ c˜ao de Langevin generalizada, incluindo a metodologia da transformada de Laplace, a qual ´ e utilizada para obter a solu¸ c˜ao em termos da fun¸ c˜ao de relaxa¸ c˜ao. Na Se¸ c˜ao 2 introduzimos a vers˜ ao fracion´aria da equa¸ c˜ao de Langevin generalizada, recuperando os re- sultados da Se¸ c˜ao 1, como casos particulares. Na Se¸ c˜ao 3 utilizando uma fun¸ c˜ao decorrela¸ c˜ao espec´ ıfica obtemos a correspondente fun¸ c˜aode relaxa¸ c˜ao. Na Se¸ c˜ao 4 apresentamos nossos principais resultados, ou seja, calculamos ex- plicitamente os n´ ucleos em termos da fun¸ c˜aode Mittag-Leffler generalizada, que nos permite, por exemplo, obter as variˆancias. Por fim apre- sentamos nossas conclus˜oes. 1 Uma discu¸c˜ao mais detalhada pode ser encontrada em [9]. — 713 — Anais do CNMAC v.2 ISSN 1984-820X