Tόhoku Math. J. 44(1992),  201 210 ESTIMATES FOR OPERATORS IN WEIGHTED //^ SPACES SALAH  A. A. EMARA (Received March 4, 1991,  revised August  5,  1991) Abstract.  We give conditions on  pairs of weight  functions for which a certain operator defined onzyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA Ω ^R 2 + is bounded between weighted Lorentz spaces. The result is applied to obtain weighted estimates for the Laplace transform. Introduction.  Let  /  and w be nonnegative functions on R + .  Then the distribution function  of /  relative to the measure w(x)dx is defined by f w (s)=\ w(x)dx = w({x:\f(x)\>s}), J{x:\ f( x) \ > s) where s>0 and the decreasing rearrangement  of  |/ 1 relative to w(x)dx is obtained by f w (ή = inf{s:f w (s)<t} (see e.g. [4; 6,  Chapter V]). Further if  0</?, q<oo,  then  the weighted Lorentz spaces L p ' q (yή  are defined by where (i)  II/I (Φ)\ ί t^r(t)γr'dt\  , 0<p, o sup t lίp f w (t) , 0 <p< oo , q= oo . ί>0 In case either 1 <p<co and l<q<oo or p = q=oo, L PA (w)  is a Banach space with norm equivalent  to the quasi norm ||/ || LP , g(w) . Clearly if w=\  then L p ' q (w) = L p ' q ,  where L PΛ  are the usual Lorentz spaces. We denote by L P W {Ω ),  0</?<oo, the space of  weighted measurable functions /  for which II  /  lli£(β) =  II  W^/HLP^) is finite, where ||  || LP(β)  denotes the usual Lebesgue norm. Note If 1</7<OO, 1<#<OO and 1//?+ l/ p'= l = l/ q+l/ q f ,  then (2) C 'WfW^^K sup fgwdx <C\ \ f\ \ LP , q 1991 Mathematics Subject Classification. Primary 26D10; Secondary 42B10, 46E30. Research supported in  part by The American University in  Cairo.