J. DIFFERENTIAL GEOMETRY 39(1994) 123 137 THE SPECTRUM OF DEGENERATING HYPERBOLIC 3 MANIFOLDS I. CHAVEL & J.  DODZIUK 1.  Introduction According to the cusp closing theorem of Thurston [14, §5.8], a com plete,  three dimensional, noncompact manifoldzyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQ M, of constant negative curvature 1 and finite volume, is a limit of a sequence of compact hy perbolic manifolds M {  > M. The Laplacian on the limit manifold M has continuous spectrum filling the interval [1, oo) with multiplicity equal to the number of cusps. In this paper we investigate the rate of clustering of the eigenvalues of the Laplacian on M i  as / tends to infinity. The analogous question for surfaces has been studied by Wolpert [19], Hejhal [9],  and Ji [10], and a sharp estimate of the accumulation rate was ob tained by Ji and Zworski [11]. In addition, Colbois and Courtois [4], [5] proved that the eigenvalues below the bottom of continuous spectrum are limits of eigenvalues of compact approximating manifolds for both Rie mann  surfaces and hyperbolic three manifolds. Problems of this kind do not  arise in dimensions greater than  or equal to four (cf. [7]), since the number of complete hyperbolic manifolds of volume less than  or equal to a given  constant is finite in this case. Suppose M has only one cusp. Then, for large /, M {  will contain a metric tubular neighborhood of a short, simple, closed geodesic γ .  of length / z  —•  0 and of radius i? z  —•  oo. Let Δ. be the Laplacian on λ f. , Spec(Δ.) its spectrum and N.(x) = #{λ e Spec(Δ.)|l < λ < 1 + x 2 } . Our result is that (1.1) N i (x) = ±R i + O x {l), or equivalently (cf. (2.4)) (1.2) tf,(x) = £ log Q )+0,(1). Received November 16, 1992. Research supported in part by the National Science Foun dation and the PSC CUNY Research Award Program.