ACTA ARITHMETICA 127.3 (2007) Capitulation des 2-classes d’id´ eaux de certains corps biquadratiques cycliques par Abdelmalek Azizi et Mohammed Talbi (Oujda) 1. Introduction. Soient M un corps de nombres de degr´ e ﬁni sur Q, L une extension non ramiﬁ´ ee de M et p un nombre premier. L’extension M (1) de M , ab´ elienne maximale et non ramiﬁ´ ee pour tous les id´ eaux premiers, ﬁnis et inﬁnis, est dite le corps de classes de Hilbert de M . De mˆ eme l’extension M (1) p de M dont le degr´ e est une puissance de p, ab´ elienne maximale et non ramiﬁ´ ee pour tous les id´ eaux premiers, ﬁnis et inﬁnis, est dite le p-corps de classes de Hilbert de M . La recherche des id´ eaux de M qui capitulent dans L (deviennent prin- cipaux dans L)a´ et´ e l’objet d’´ etude de plusieurs math´ ematiciens. En eﬀet, Kronecker ´ etait parmi les premiers ` a avoir abord´ e des probl` emes de capi- tulation dans le cas des corps quadratiques imaginaires. Dans le cas o` u L est ´ egal au corps de classes de Hilbert M (1) de M , D. Hilbert avait conjec- tur´ e que toutes les classes de M capitulent dans M (1) (th´ eor` eme de l’id´ eal principal). La preuve de ce dernier th´ eor` eme a ´ et´ e r´ eduite par E. Artin ` a un probl` eme de la th´ eorie des groupes, et c’est Ph. Furtw¨ angler qui l’avait achev´ ee. Le cas o` u L/M est une extension cyclique et [L : M ]= p, un nombre premier, a ´ et´ e trait´ e par Hilbert. Sa r´ eponse est le sujet du “th´ eor` eme 94” qui aﬃrme qu’il y a au moins une classe non triviale dans M qui capitule dans L. De plus, Hilbert avait trouv´ e le r´ esultat suivant : Soient σ un g´ en´ erateur du groupe de Galois de L/M , N L/M la norme de L/M , E M le groupe des unit´ es de M , E L celui de L et E ∗ L le sous-groupe des unit´ es de E L dont la norme, relative ` a l’extension L/M , est ´ egale ` a 1. Alors le groupe des classes de M qui capitulent dans L est isomorphe au groupe quotient E ∗ L /E 1−σ L = H 1 (E L ), le groupe cohomologique de dimension 1. ` A l’aide de ce th´ eor` eme et de plusieurs r´ esultats sur les groupes coho- mologiques des unit´ es, on obtient : 2000 Mathematics Subject Classiﬁcation : 11R37, 11R29, 11R16. A. Azizi est membre de l’Acad´ emie Hassan II des Sciences et Techniques, Maroc. [231] c  Instytut Matematyczny PAN, 2007