Un algorithme d’identification autodidacte multi-entr´ ees/multi-sorties en pr´ esence de bruit corr´ el´ e spatialement Walid Hachem 1 , Fran¸ cois Desbouvries 1 , Philippe Loubaton 2 1 Institut National des T´ el´ ecommunications, D´ epartement Signal et Image, 9 rue Charles Fourier, 91011 ´ Evry, France 2 Universit´ e de Marne la Vall´ ee, Laboratoire Syst` emes de Communication, 5 boulevard Descartes, 77454 Marne la Vall´ ee C´ edex 2, France Walid.Hachem@int-evry.fr, desbou@int-evry.fr, loubaton@univ-mlv.fr R´ esum´ e– Nous ´ etudions le probl` eme de l’identification au second-ordre d’une fonction de transfert multi-entr´ ees / multi-sorties en pr´ esence de bruit additif. Le bruit additif est suppos´ e (temporellement) blanc, c’est-`a-dire d´ ecorr´ el´ e dans le temps, mais nous ne faisons aucune hypoth` ese sur sa corr´ elation spatiale. Nous proposons un r´ esultat d’identifiabilit´ e qui requiert des hypoth` eses tr` es faibles sur la fonction de transfert `a estimer. Un algorithme nouveau est propos´ e et test´ e par des simulations. Abstract – We address the problem of the second-order blind identification of a Multiple-Input Multiple-Output (MIMO) transfer function in the presence of additive noise. The additive noise is assumed to be (temporally) white, i.e., uncorrelated in time, but we do not make any assumption on its spatial correlation. We propose an identifiability result which requires very mild assumptions on the transfer function to be estimated. A new algorithm is proposed and tested by simulations. 1 Introduction Soit (y n ) n∈ZZ le signal de dimension q d´ efini par y n =[H (z)]s n + w n = y u n + w n . (1) Nous ´ etudions le probl` eme de l’identification de H (z)`a partir de la donn´ ee (suppos´ ee exacte) de la fonction de covariance de la sortie y. Dans un contexte d’´ egalisation autodidacte en commu- nications num´ eriques, s n est un processus vectoriel p × 1 centr´ e et d´ ecorr´ el´ e, qui repr´ esente les s´ equences de sym- boles (non observables) ´ emis par p sources partageant la mˆ eme p´ eriode baud. La fonction de transfert matricielle q ×pH (z) mod´ elise le canal inconnu. Le signal est re¸cu sur un r´ eseau de q capteurs, et perturb´ e par un bruit additif w n de dimension q, d´ ecorr´ el´ e du signal utile y u n . Nous supposons que q>p, que H (z)= ∑ M k=0 H k z −k est un filtre RIF ` a minimum de phase, et que w n est un bruit blanc de dimension q (c’est-`a-dire E(w n w T m ) = 0 si n = m), de matrice de covariance spatiale Σ = E(w n w T n ). Les articles [1] et [2] ont ´ et´ e les premiers `a r´ esoudre le probl` eme au 2 nd ordre. Ils ont donn´ e lieu ensuite `a un grand nombre de travaux et variantes. Cependant, la plu- part de ces algorithmes consid` erent le cas o` uΣ= σ 2 I q . Cette hypoth` ese peut cependant ˆ etre restrictive dans certains contextes. Par exemple, si les propri´ et´ es physiques des capteurs ne sont pas identiques, les composantes du bruit sont d´ ecorr´ el´ ees mais leurs variances ne co¨ ıncident pas n´ ecessairement. Le bruit peut mˆ eme ˆ etre corr´ el´ e spa- tialement s’il r´ esulte de la superposition d’un grand nombre de sources ind´ ependantes. Cette situation se rencontre par exemple en acoustique sous-marine [3] [4]. Dans cet article, nous proposons un algorithme d’iden- tification de H (z) dans le cas o` u l’on ne dispose pas d’in- formation a priori sur Σ. Ce probl` eme a ´ et´ e´ etudi´ e dans le cas SIMO (p = 1) dans [5], [6], et [7]. L’article [8] pro- pose une solution dans le cas o` u p> 1, et [9] g´ en´ eralise les r´ esultats de [8] au cas o` u H (z) est rationnelle. Notre d´ emarche est la suivante. Soit {R k } (resp. {R u k }) la fonction de covariance du signal re¸ cu y (du signal non bruit´ e y u n ). On a R 0 = R u 0 + Σ, R k = R u k pour 0 ≤ k ≤ M et R k = R u k = 0 pour k>M .Σ´ etant inconnu, R 0 ne contient pas d’information sur R u 0 . Par cons´ equent, notre probl` eme consiste ici `a identifier H (z)` a partir de la seule connaissance de la s´ equence tronqu´ ee des {R k } M k=1 . Cet article est organis´ e de la fa¸ con suivante. Le para- graphe 2 d´ ecrit le principe et propose un r´ esultat g´ en´ eral d’identifiabilit´ e bas´ e sur la notion d’espaces rationnels. Dans le paragraphe 3, nous en d´ eduisons un algorithme d’identification; les hypoth` eses d’identifiabilit´ e sur H (z) sont moins contraignantes que dans la solution propos´ ee dans [8] ou [9]. Finalement, la mise en œuvre de l’algo- rithme est d´ ecrite dans le paragraphe 4 et des simulations sont propos´ ees. 2 Un r´ esultat d’identifiabilit´ e 2.1 Principe d’identification Notre m´ ethode consiste `ar´ esoudre un probl` eme de com- pl´ etion. En effet, y u n n’est pas un processus vectoriel SSL 717 Dix-septième colloque GRETSI, Vannes, 13-17 septembre 1999