Вариации на тему уточнённого порядка Б. Н. Хабибуллин Башкирский государственный университет Россия, Республика Башкортостан, 450076 г. Уфа, улица Заки Валиди, 32. Email: khabib-bulat@mail.ru Понятие уточнённого порядка широко используется в теориях целых, меро- морфных, субгармонических и плюрисубгармонических функций. Приводится общая трактовка этого понятия как уточнённой функции роста относительно модельной функции роста. Классический уточнённый порядок – это ln , когда V – уточнённая функция роста относительно тождественной функции на поло- жительной полуоси. Наше определение использует лишь одно условии. Такая форма определения новая и для классического уточнённого порядка. Ключевые слова: функция роста, уточнённый порядок, выпуклая функция, це- лая функция, субгармоническая функция. Понятие уточнённого порядка возникло в работах Ж. Валирона [1; Ch. III, I.6]. Основные его свойства и применения изложены в [2; гл. I, § 12], [3; гл. II, § 2], [4; 7.4], [5]. Перейдём к точным определениям и формулировкам. ℝ – множество действительных чисел; ℝ + ≔ { ∈ ℝ: ≥ 0} – множество положительных чисел; ℝ ∗ + ∶= ℝ + \{0} –множество строго положительных чисел. Подмножество ⊂ ℝ – луч положительного направле- ния на ℝ, если ∅≠≠ ℝ, а также для любых ∊ и ∊ ℝ из ≤ следует, что ∊. Далее через → обозначаем какой-либо произвольный луч положительного направле- ния на ℝ. Рассматриваются только функции с областью значений ℝ и с областью определения, включающей в себя → . Функция обладает некоторым свойством, если она обладает им на → . Функция положительная и пишем ≥ 0 (соответственно строго положительная и пишем >0), если ( → ) ⊂ ℝ + (соответственно ( → ) ⊂ ℝ ∗ + ). Функция возрастающая (соответственно строго возрастающая), если для любых 1 , 2 ∊ → из 1 < 2 следует, что ( 1 ) ≤( 2 ) (соответственно ( 1 )< ( 2 )). Дей- ствия над функциями производятся поточечно на → . Функция выпукла относительно ln, если функция : ↦( ) выпуклая. Из извест- ных свойств выпуклых функций это означает, что функция непрерывна и существуют левые и правые производные соответственно − ′ и + ′ , для которых функция ↦ − ′ () и/или функция r ↦ + ′ () возрастающая [6, Ch. I]. Другими словами, по пере- менной ∊ℂ на комплексной плоскости ℂ функция ↦(||) субгармоническая ра- диальная функция вне некоторого круга с центром в нуле из ℂ [6, Ch. III]. Определение. Выпуклую относительно ln функцию >0 с производной ′ >0 и с пре- делом lim →+∞ ()=+∞ называем модельной функцией роста. Дифференцируемую функцию >0 называем уточнённой функцией роста относительно модельной функции роста , если существует хотя бы один из пределов lim →+∞ ()′() ′()() = lim →+∞ (ln ())′ (ln ()) ′ = lim →+∞ (ln ())′ (ln ()) ′ = lim →+∞ () ′ () ′ ()() ∊ ℝ + , (1)