226(15): 44 - 52 TNU Journal of Science and Technology ABSTRACT ARTICLE INFO Received: Balancing numbers n are originally defined as the solution of the Diophantine equation 1+2+···+(n−1) = (n+1)+···+(n+r), where r is called the balancer corresponding to the balancing number n. By slightly modifying, n is the cobalancing number with the cobalancer r if 1+2+···+n =(n+1)+···+(n+r). Let B n denote the n th balancing number and b n denote the n th cobalancing number. Then 8B 2 n +1 and 8b 2 n +8b n +1 are perfect squares. The n th Lucas- balancing number C n and the n th Lucas-cobalancing number c n are the positive roots of 8B 2 n +1 and 8b 2 n +8b n +1, respectively. In this paper, we establish some trigonometric-type identities and some arithmetic properties concerning the parity of balancing, cobalancing, Lucas-balancing and Lucas-cobalancing numbers. Revised: Published: KEYWORDS Balancing number Cobalancing number Lucas-balancing number Trigonometric-type identity Parity THÔNG TIN BÀI BÁO TÓM TẮT Ngày nhận bài: Các số cân bằng n được định nghĩa như là nghiệm của phương trình Diophantus 1+2+ ··· +(n − 1) = (n +1)+ ··· +(n + r), trong đó r được gọi là hệ số cân bằng ứng với số cân bằng n. Tương tự như vậy, n là một số đối cân bằng với hệ số đối cân bằng r nếu 1+2+ ··· + n =(n + 1) + ··· +(n + r). Ký hiệu B n là số cân bằng thứ n và b n là số đối cân bằng thứ n. Khi đó, 8B 2 n +1 và 8b 2 n +8b n +1 là những số chính phương. Số Lucas-cân bằng thứ n, ký hiệu C n , và số Lucas-đối cân bằng thứ n, ký hiệu c n , lần lượt là các căn bậc hai dương của 8B 2 n +1 và 8b 2 n +8b n +1. Trong bài báo này, bằng những tính toán sơ cấp, chúng tôi thiết lập một số đẳng thức kiểu lượng giác và từ đó chỉ ra một số tính chất số học liên quan đến tính chẵn lẻ của các số cân bằng, các số đối cân bằng, các số Lucas-cân bằng và các số Lucas-đối cân bằng. Ngày hoàn thiện: Ngày đăng: TỪ KHÓA Số cân bằng Số đối cân bằng Số Lucas-cân bằng Đẳng thức kiểu lượng giác Tính chẵn lẻ Email: dinhnv@tnus.edu.vn Email: jst@tnu.edu.vn 44 http://jst.tnu.edu.vn TRIGONOMETRIC-TYPE IDENTITIES AND THE PARITY OF BALANCING AND LUCAS-BALANCING NUMBERS Ngo Van Dinh TNU – University of Sciences MỘT SỐ ĐẲNG THỨC KIỂU LƯỢNG GIÁC VÀ TÍNH CHẴN LẺ CỦA CÁC SỐ CÂN BẰNG VÀ CÁC SỐ LUCAS-CÂN BẰNG Ngô Văn Định Trường Đại học Khoa học – Đại học Thái Nguyên DOI: https://doi.org/10.34238/tnu-jst.4525 24/11/2021 11/11/2021 20/5/2021 20/5/2021 11/11/2021 24/11/2021