DOI 10.1007/s002229900926 Invent. math. 137, 199–231 (1999)  Springer-Verlag 1999 Actions de r´ eseaux sur le cercle ´ Etienne Ghys Unit´ e de Math´ ematiques Pures et Appliqu´ ees, Ecole Normale Sup´ erieure de Lyon, U.M.R. 128 du CNRS, 46, all´ ee d’Italie, F-69364 Lyon 07, France (e-mail: ghys@umpa.ens-lyon.fr) Oblatum 27-VII-1998 & 4-XII-1998 / Published online: 10 May 1999 1 Introduction Le but de cet article est de d´ ecrire les actions des r´ eseaux des groupes de Lie semi-simples sur le cercle, par diff´ eomorphismes de classe C 1 . Le rang r´ eel d’un groupe de Lie semi-simple connexe G d’algèbre de Lie G est l’entier maximal r tel qu’il existe une sous-algèbre ab´ elienne R r ⊂ G dont l’image par la repr´ esentation adjointe est diagonalisable sur R. Un r´ eseau Γ de G est un sous-groupe discret tel que le volume du quotient G/Γ est fini pour la mesure de Haar. Un r´ eseau est r´ eductible si on peut trouver deux sous-groupes distingu´ es G 1 , G 2 de G, connexes et non triviaux, qui engendrent G, dont l’intersection est contenue dans le centre (discret) de G, et tels que (G 1 ∩ Γ).(G 2 ∩ Γ) soit d’indice fini dans Γ. Dans le cas contraire, on dit que Γ est irr´ eductible (voir [19]). Th´ eorème 1.1 Soit G un groupe de Lie semi-simple connexe dont le rang r´ eel est sup´ erieur ou ´ egal à 2 et dont aucun facteur simple n’est locale- ment isomorphe à PSL(2, R). Soit Γ un r´ eseau irr´ eductible de G. Alors toute action de Γ sur le cercle par diff´ eomorphismes de classe C 1 respec- tant l’orientation transite à travers une surjection de Γ sur un groupe fini cyclique. Si φ 1 ,φ 2 : Γ → Hom´ eo + (S 1 ) sont deux homomorphismes à valeurs dans le groupe des hom´ eomorphismes du cercle qui respectent l’orientation, on dit que φ 1 est semi-conjugu´ e à un revêtement fini de φ 2 s’il existe une application continue f : S 1 → S 1 , surjective et localement monotone (au sens large), telle que pour tout γ ∈ Γ on ait φ 2 (γ) ◦ f = f ◦ φ 1 (γ). Lorsque f est un revêtement (resp. un revêtement de classe C n ), on dit que φ 1 est topologiquement (resp. C n ) conjugu´ e à un revêtement fini de φ 2 . Le th´ eorème suivant, plus fort que le pr´ ec´ edent, ne fait plus d’hypothèse sur les facteurs simples de G. Mathematics Subject Classification (1991): 57M60