Математичнi Студiї. Т.37, №1 Matematychni Studii. V.37, No.1 УДК 517.97 С. М. Бак IСНУВАННЯ ПЕРIОДИЧНИХ БIЖУЧИХ ХВИЛЬ В СИСТЕМI ФЕРМI-ПАСТИ-УЛАМА НА ДВОВИМIРНIЙ ГРАТЦI S. M. Bak. Existence of periodic travelling waves in Fermi-Pasta-Ulam system on 2D–lattice , Mat. Stud. 37 (2012), 76–88. It is considered the system of differential equations that describes the dynamics of an infinite system of atoms on 2D–lattice. Results on existence of the periodic travelling waves are obtained. C. Н. Бак. Существование периодических бегущих волн в системе Ферми-Пасты-Улама на двухмерной решетке // Мат. Студiї. – 2012. – Т.37, №1. – C.76–88. Рассматривается система дифференциальных уравнений, описывающая динамику бес- конечной системы атомов на двухмерной решетке. Получен результат о существовании периодических бегущих волн. 1. Вступ. У цiй статтi дослiджуються рiвняння, що описують динамiку нескiнченної системи атомiв, розмiщених на плоскiй цiлочисловiй гратцi. Нехай q n,m (t) — координата (n, m)-го атому в момент часу t. Припускається, що кожний атом нелiнiйно взаємодiє з чотирма своїми найближчими сусiдами. Рiвняння руху системи, що розглядається, мають вигляд: ¨ q n,m = U ′ (q n+1,m − q n,m ) − U ′ (q n,m − q n−1,m )+ +U ′ (q n,m+1 − q n,m ) − U ′ (q n,m − q n,m−1 ), (n, m) ∈ Z 2 , (1) де U — потенцiал взаємодiї мiж сусiднiми атомами. Рiвняння (1) є нескiнченною систе- мою звичайних диференцiальних рiвнянь. Подiбнi системи є цiкавими з огляду на численнi застосування у фiзицi ([7], [10]– [12]). У статтях [1], [3], [13] та [14] дослiджувались бiжучi хвилi в системах лiнiйно зв’язаних нелiнiйних осциляторiв, розмiщених на двовимiрних гратках, у статтi [17] — перiодичнi розв’язки, а у статтi [2] — питання коректностi задачi Кошi для таких систем. Вiдмiтимо, що в статтi [12] вивчались бризери для нескiнченної системи Фермi- Пасти-Улама на двовимiрнiй гратцi, а y статтi [18] — перiодичнi розв’язки для системи Фермi-Пасти-Улама на гратцi розмiру n × m. Огляд вiдомих результатiв про системи Фермi-Пасти-Улама на одновимiрнiй гратцi зроблено в [15]. У цiй статтi отримано умови iснування перiодичних бiжучих хвиль для нескiнченної системи Фермi-Пасти-Улама на двовимiрнiй гратцi. Дана робота узагальнює результа- ти, отриманi в [15]. 2010 Mathematics Subject Classification: 35Q51, 35Q55, 39A12. Keywords: system of differential equation, periodic travelling waves, 2D–lattice. c  С. М. Бак, 2012