XX Congreso de Ecuaciones Diferenciales y Aplicaciones X Congreso de Matem´ atica Aplicada Sevilla, 24-28 septiembre 2007 (pp. 1–8) Comportamiento asint´otico de una viga el´ astica fijada en peque˜ nas zonas de uno de sus extremos J. Casado D ´ ıaz 1 , M. Luna Laynez 1 , F. Murat 2 1 Dpto. E.D.A.N., Universidad de Sevilla, Aptdo. 1160, E-41080 Sevilla. E-mails: jcasadod@us.es, mllaynez@us.es. 2 Lab. Jacques-Louis Lions, Universit´ e Pierre et Marie Curie, boˆ ıte courrier 187, 75252 Paris cedex 05, Francia. E-mail: murat@ann.jussieu.fr. Palabras clave: viga delgada, elasticidad lineal, comportamiento asint´ otico Resumen Estudiamos el comportamiento asint´otico de una viga el´astica delgada cuando su anchura, ε, tiende a cero. La viga est´a fijada en la totalidad de una de sus bases, mientras que en la otra, s´olo lo est´a en la uni´on de N peque˜ nas zonas de talla εr ε , r ε tendiendo a cero. Sobre el resto de la frontera se impone una condici´on de Neumann. El comportamiento depende de r ε , el n´ umero de zonas de fijaci´on y su distribuci´on. Para N = 1 aparecen tres tallas cr´ ıticas, ε 3 , ε y ε 1/3 , y por tanto siete reg´ ımenes distintos. Si r ε ≪ ε 3 el comportamiento es el mismo que cuando no existe la peque˜ na zona de sujeci´on. Si r ε ≫ ε 1/3 el comportamiento es el que obtendr´ ıamos si fij´aramos en toda la base. En los dem´as casos aparecen comportamientos intermedios. Para N ≥ 2 el resultado es diferente. As´ ı, si las zonas se concentran alrededor de tres puntos no alineados s´olo aparecen dos tallas cr´ ıticas, ε 3 y ε. Esto prueba que es preferible fijar la viga alrededor de tres puntos no alineados de una base a hacerlo alrededor de tan s´olo uno, a´ un cuando usemos una zona de mucho mayor grosor. 1. Introducci´on En el presente trabajo consideramos el sistema de la elasticidad lineal planteado en la viga delgada Ω ε = (0, 1) × εS , donde S es un dominio acotado regular de R 2 y ε> 0 es un par´ametro destinado a tender a cero. En uno de sus extremos (x 1 =1) la viga est´a fijada en la totalidad de su base Γ ε 1 = {1}× εS . En el otro extremo (x 1 = 0) la suponemos fijada solamente en el conjunto peque˜ no Γ ε 0 = N  n=1  εy n + ( {0}× εr ε S n )  , 1