ANALYSE SPECTRALE DES OPERATEURS HERMITIENS D'UN ESPACE DE BANACH MICHEL BAILLET Introduction Un element a d'une algebre de Banach unifere A est dit hermitien si son image numerique est reelle ou, de maniere equivalente, si ||exp (ita)\\ = 1 pour tout teR. La theorie des operateurs hermitiens, dont les fondements sont presentes dans les ouvrages de F. F. Bonsall et J. Duncan [4, 5], s'appuie largement sur la notion d'image numerique et le calcul holomorphe. On se propose, dans cet article de demontrer les resultats annonces dans [3]. Si a e A est hermitien, ou plus generalement a croissance lente (§ 1), on considere la representation U : t \—> exp (ita) de R comme une distribution vectorielle temperee. Par transformation de Fourier, on obtient un calcul fonctionnel, ce qui rejoint le point de vue de H. Weyl [23] et R. F. V. Anderson [1]. La meme methode a ete introduite independamment par H. Konig [13] et certains de ses resultats sont voisins des notres (§ 1, Theoreme 2). Nous montrons que tout operateur hermitien a possede un calcul fonctionnel continu par les germes de fonctions de classe C 1 au voisinage de son spectre. Ce calcul possede toutes les proprietes usuelles remarquables du calcul fonctionnel holomorphe qu'il prolonge : " spectral mapping theorem" , unicite... Plus generale- ment, si a est a croissance lente, on aura des resultats analogues pour les germes de fonctions de classe C k au voisinage du spectre de a. L'existence d'un tel calcul carac- terise les operateurs a croissance lente (Proposition 1). II montre aussi que ce sont des operateurs j/-scalaires au sens de [7]. Au paragraphe 2 on etudie la representation U de R associee a a. Le Theoreme 3 complete un lemme essentiel du paragraphe 1 : si / e t g sont deux elements de L A (R) dont les transformees de Fourier coincident au voisinage d'un ensemble de synthese contenant le spectre d'un element pre-hermitien alors / (a) = g(a) (le resultat s'eten- dant aux elements a croissance lente). Comme applications, nous montrons que pour un element pre-hermitien (ou plus generalement a croissance lente) tout point isole du spectre est une valeur propre et la norme du projectuer spectral associe est majoree par une constante qui ne depend quedela croissance de U a l'infini. Cela generalise un resultat connu: si a est hermitien la norme d'un tel projectuer est 1 [5]. Autres applications: tout operateur pre-hermitien a spectrefiniverifie une relation polynomiale p(a) = 0; un element non nul croissant d'ordre < a, (0 < a < 1), n'est pas quasi- nilpotent. On montre aussi que la sous-algebre t/(L a 1 (R)) de A(l,a) engendree par 1 et a est pleine dans A si a ^ 0 et verifie la condition de Ditkin (respective- ment la condition de Ditkin forte) si 0 < a < 1 (respectivement a = 0). Generalisant les travaux de R. Godement et F. Forelli [11], W. Arveson [2] a introduit, pour toute representation equicontinue U d'un groupe abelien localement compact G les notions de sous-espace spectral associe a une partie borelienne de G et de spectre de U. Dans le cas des espaces de Banach, ces objets se substituent a Received 26 January, 1978; revised 2 March, 1978 and 1 August, 1978. [J. LONDON MATH. SOC. (2), 19 (1979), 497-508]