１．手法の経緯 Material Point Method（MPM） １） は Sulsky らが１９９４年 に初めて提案した。流体力学で利用されてきた PIC （Particle In Cell）法を個体力学に応用した数値計算法で ある。数値計算法としては連続体に基づく粒子法に分類 される。 MPM の特徴は，応力，ひずみなどの物理量を粒子に 持たせる一方，運動方程式はその背後に配置した計算用 の格子で解くという点である。粒子に対しては，座標を 陽な形式で更新することで空間を移動させ，一方，計算 格子の座標は更新せず不動とする。こうすることで，メ ッシュ形状が破綻することなく大変形の解析が可能とな る。計算格子から粒子へ物理量を補間する過程は有限要 素法の形状関数による手法と同じである。既存の有限要 素法の解析技術の多くを利用できる特徴があり，多くの 解析技術者にとって理解しやすい手法といえる。 MPM は，世に出て以来，多くの分野に応用されてき た。粉体の流出 ２） や固体力学における接触問題 ３） に応用さ れ，地盤分野では Konagai ら ４） による研究が先駆的であ り，土石流への適用は阿部ら ５） によってなされている。 初期の MPM は粒子が計算格子を超える際に数値振動 を生じる難点があった。計算格子を超える度に応力が振 動するため，非線形性が強い地盤材料へ適用するには， この数値振動が課題とされていた。この問題はBardenhagen らが提唱する GIMP（Generalized Interpolation Material Point）により根本的な解決が図られた ６） 。GIMP の特徴 は特性関数（Characteristic Function）を用いて，補間関 数（FEM の形状関数に相当）の定義を一般化したこと である。この特性関数の定義方法により様々な MPM が その後提案されて現在に至っている。 本稿は，第２章で MPM の定式化，第３章で解析例を 紹介することで手法の概観を示す。また最後に手法の展 望を示す。全体を通して読者が少しでも手法の理解を深 めることができたら幸いである。 ２．定式化 MPM の定式化において，支配方程式を弱形式化し， それを離散化する過程は有限要素法のそれと同一である。 図－１（a）は MPM における空間離散化の概念図である。 実際の数値計算はスタッガード格子を用いた図－１（b）に ある実装図により数値計算を実行する方法が多く取られ ている。 MPM は計算個体として粒子，格子点，格子が存在す る。これらは，理解をしやすくするために FEM と関連 させて示すと，表－１の対応関係にある。 以下にオリジナル MPM の定式化の代表的な部分を記 載する。式 ～式 中にある上添え字 は計算ステッ プ数を表す。また格子点物理量は下添え字 ，粒子物理 量は下添え字 で表している。 粒子質量から式 により格子点質量を算出する。 ， ， ， ，はそれぞれ，格子点質量，粒子質量，粒 子位置における形状関数，格子内にある粒子数である。 ……………………………………… 粒子応力から式 により格子点内力を算出する。 ， ， ， はそれぞれ，格子点内力，粒子密度，形状 関数の導関数，粒子応力，である。 ……………………………… Material Point Method の概説と適用例 Outlines and examples of Material Point Method 桐 山 貴 俊 ＊ Takatoshi KIRIYAMA シリーズ「土砂災害に関する離散体・流体解析手法と適用例」 砂防学会誌，Vol．６８，No．３，p．４３－４６，２０１５ ＊ 清水建設（株）技術研究所 Institute of Technology, Shimizu Corporation（kiriyama@shimz.co.jp） MPM FEM 評価点 釣合式 運動方程式 粒子 格子 格子点 積分点 要素 節点 図－１ MPM の概念図および実装図 Fig．１ Conceptual diagram and implemental diagram of MPM configuration 表－１ MPM と FEM の対応関係 Table１ The relation between MPM and FEM ―４３―