PACIFIC JOURNAL OF  MATHEMATICS Vol. 37, No. 3,  1971 AzyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA CONGRUENCE THEOREM FOR ASYMMETRIC TREES JAROSLAV NESETRIL The question is studied how a given  tree is determined by the collection of its asymmetric subtrees. The results are analogous other partial answers to the Ulam Kelly conjecture. In  [1], [2], [4], [5] several theorems are proved concerning the following conjecture posed by P. J. Kelly [4]: IfzyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWV G  and H are two graphs with p vertices v t  and Ui respectively (p ^ 3) such that for all ί : G —v {  = H —u {  then G  and H are themselves isomorphic. In [4] it is shown that this conjecture is true when G, H are trees. In [1]> [2], [5] improvements of this result are obtained, namely, know ledge any of the following collections is sufficient to conclude G=H providing G, H are trees: (1) all maximal proper subtrees [2] (2) subtrees T  —v {  where Vι  is a peripheral vertex [1] (3) non isomorphic maximal subtrees [5]. Let G{T )  denote the automorphism group of a tree T.  If G(T) = {identity}  then T  is called an asymmetric tree. Let 2t denote the class of all asymmetric trees. For a tree T  consider the set of all asymmetric proper subtrees of T.  This set is naturally partially ordered by inclusion, denote by A(T)  the set of all maximal elements of this set, i.e. the set of all maximal asymmetric subtrees. (By subtree is meant proper subtree from now on.) Further denote by 3I(T) the set of all isomorphism types of A{T).  (We denote by [G]  the isomorphism type of the graph • G,  hence 2I(Γ) = {[T ']ι T e A(T)}.)  We write A(T) ~ A(S)  for trees T  and S,  if there is a one to one mapping φ : A(T)  —• A(S)  such that ><p(Ti)  = Ti for every T.eAiT). We write 2I(T) = 5t(S) if the sets 2t(T) and 9I(S) are equal. We write T itjtk  for the tree consisting of three edge disjoint paths that start from a common point and have lengths i, j, k. We will investigate the dependence of [T]  on A(T)  and SX(T). It  is obvious that not  every tree T  will be determined by A(T), since there are nonisomorhic trees with A(T)  = 0 (we do not include the trivial tree in the collections A(T)  and 3X(Γ)). But such trees are characterized by the following known result: PROPOSITION  0.1. We have A{T) Φ  0 iff T 7  < T, where T 7  T ι M with 7 vertices is the minimal asymmetric tree and G  < H means that & is a proper full subgraph of H. in