Katlamalı LDPC Kodların Yinelemeli Kod Çözümü Üzerine On the Iterative Decoding of LDPC Convolutional Codes Ali Emre Pusane 1 , Roxana Smarandache 2 , Pascal O. Vontobel 3 , Daniel J. Costello, Jr. 4 1. Elektrik ve Elektronik Mühendisli˘ gi Bölümü Bo˘ gaziçi Üniversitesi ali.pusane@boun.edu.tr 2. Matematik ve ˙ Istatistik Bölümü San Diego Eyalet Üniversitesi rsmarand@math.sdsu.edu 3. Hewlett-Packard Laboratuvarları pascal.vontobel@ieee.org 4. Elektrik Mühendisli˘ gi Bölümü Notre Dame Üniversitesi costello.2@nd.edu Özetçe Blok LDPC kodları ile benzer biçimde, katlamalı LDPC kodların bit hata ba¸ sarımları da kanal sı˘ gasına yakla¸ sabilmektedir. Bu çalı¸ smada, katlamalı LDPC kodlar ve ilgili yinelemeli kod çözme algoritması kısaca tanıtılmı¸ stır. Bilgisayar benzetimleri ile tasarlanan katlamalı LDPC kodların benzer karma¸ sıklı˘ ga sahip blok LDPC kodlardan çok daha iyi bit hata ba¸ sarımına sahip oldu˘ gu gösterilmi¸ s, bu ba¸ sarım farkının nedenleri açıklanmaya çalı¸ sılmı¸ stır. Abstract LDPC convolutional codes have been shown to be capable of achieving the same capacity-approaching performance as their block counterparts. In this paper, we present a brief introduction to these codes and their associated iterative decoding algorithm. Further, we demonstrate via computer simulations that the constructed LDPC convolutional codes significantly outperform the LDPC block codes with comparable complexity. Finally, we investigate the reasons for this improved performance. 1. Giri¸ s Turbo kodların 1993 yılında bulunmasıyla birlikte yinelemeli kod çözme tabanlı kodlara olan ilgi çok artmı¸ stır. Bu dönemde, ilk kez 1962 yılında Gallager tarafından önerilen [1] dü¸ sük yo˘ gunluklu e¸ slik denetim (LDPC) kodlarının da kanal sı˘ gasına yakla¸ sabildi˘ gi anla¸ sılmı¸ stır. Aslında Gallager’in 1962 yılında belirledi˘ gi temeller aynı kalsa da, kod çözme icin gereken i¸ sleme karma¸ sıklı˘ gı o yıllar mevcut olanın çok üzerindeydi. Günümüze gelindi˘ ginde ise modern kodlama/kod çözme teknikleriyle kar¸ sıla¸ stırıldı˘ gında LDPC kodların çok yüksek bit hata ba¸ sarımına sahip oldu ˘ gu görülmü¸ stür. Kodlama alanındaki bu büyük geli¸ sme, bu kodlara ait çe¸ sitli çalı¸ smaların yapılmasına öncü olmu¸ stur. Bu çalı¸ smalar arasında, LDPC kodların hata ba¸ sarımının çok yüksek oldu˘ gunu bilgisayar benzetimleriyle gösteren MacKay and Neal [2], ve LDPC kodların graf üzerinde kod çözümü ile ilgili önemli bir doktora tezine imza atmı¸ s olan Wiberg [3] bulunmaktadır. LDPC kodların popülerli˘ gini takiben, “düzensiz” LDPC kodları geli¸ stirilmi¸ s [4], ve bu kod ailesinin kod çözme e¸ sik de˘ gerlerini bulmak ve eniyilemek için çe¸ sitli çalı¸ smalar yapılmı¸ stır. Kanal sı˘ gasına 0.0045 dB yakla¸ sabilen bir LDPC kod ailesinin de elde edildi˘ gi bu çalı¸ smaların detaylarına burada de˘ ginilmeyecektir [5] 1 . Blok kodlar bilgi dizisini büyük bloklar biçiminde i¸ sleyip kod sözcükleri olu¸ stururken, katlamalı kodlar her bir zaman aralı˘ gında az sayıda bilgi bitini i¸ sleyip kod dizisinin kısımlarını olu¸ stururlar. Bu özellikleri, çok dü¸ sük kodlama ve kod çözme karma¸ sıklı˘ gına neden olurken, yıllar boyunca derin uzay haberle¸ smesinde rakipsiz kalmalarını da sa˘ glamı¸ stır. Bile¸ sen kod olarak katlamalı kod kullanan Turbo kodların da ortaya çıkmasıyla bu konumlarını oldukça perçinlemi¸ slerdir. Ancak, e¸ slik denetim matrisleri dü¸ sük yo˘ gunluklu olan LDPC kodları dü¸ sük kod çözme karma¸ sıklıklarına kar¸ sın gösterdikleri yüksek bit hata ba¸ sarımı ile birçok uygulama için katlamalı kodları geride bırakmı¸ stır. Daha sonrasında ise Feltström ve Zigangirov’un 1999 yılında katlamalı LDPC kodları bulmasıyla birlikte katlamalı kodların da benzer ba¸ sarıma sahip olabilece˘ gi görülmü¸ stür [6] 2 . Katlamalı LDPC kodların ana özelli˘ gi, isimlerinden de anla¸ sılaca˘ gı üzere, dü¸ sük yo˘ gunluklu e¸ slik denetim matrislerine sahip olmalarıdır. Katlamalı kodlar da do˘ grusal kodlar oldu˘ gundan e¸ slik denetim matrisleri olması, ve bu matrislerin dü¸ sük yo˘ gunluklu olarak tasarlanabilmesi ¸ sa¸ sırtıcı 1 Bu tasarlanan kodun uzunlu˘ gu n = 10 7 ’dir. Pratik de˘ geri olmasa da kanal sı˘ gasına bu kadar yakla¸ sabilmesi ile LDPC kodların potansiyelini vurgulamak için kullanılmı¸ stır. 2 Katlamalı ve blok kodlar arasındaki farkı vurgulamak amacıyla bu çalı¸ smada Gallager’in LDPC kodları “blok LDPC kodlar" olarak adlandırılacaktır. 519 SIU2010 - IEEE 18.Sinyal isleme ve iletisim uygulamalari kurultayi - Diyarbakir 978-1-4244-9671-6/10/$26.00 ©2010 IEEE