PRZEGLĄD ELEKTROTECHNICZNY, ISSN 0033-2097, R. 88 NR 12b/2012 5 Krzysztof CHWASTEK, Grzegorz DUDEK Politechnika Częstochowska Wykorzystanie strategii ewolucyjnej do estymacji parametrów modelu histerezy Streszczenie. Zaproponowano strategię ewolucyjną do estymacji parametrów fenomenologicznego modelu histerezy autorstwa Takácsa uzupełnionego o składnik reprezentujący procesy odwracalne zachodzące podczas procesu magnesowania. … Abstract. An evolution strategy for parameter estimation of the Takács phenomenological model of hysteresis is proposed. The description is supplemented with a component related to reversible magnetization processes. (Estimation of parameters for a hysteresis model using evolution strategy). Słowa kluczowe: model histerezy, estymacja parametrów, strategie ewolucyjne, . Keywords: hysteresis model, parameter estimation, evolution strategies, . Wstęp Modelowanie pętli histerezy wymaga wyznaczenia optymalnego zestawu parametrów modelu. Do tego celu stosowane są różne techniki optymalizacyjne, w tym strategie ewolucyjne [1,2]. W niniejszej pracy rozważono wykorzystanie strategii ewolucyjnych do estymacji parametrów fenomenologicznego modelu Takácsa [3,4] uzupełnionego o składnik reprezentujący procesy odwracalne zachodzące podczas procesu magnesowania. Równania modelu Model Takácsa jest oparty na nieliniowej transformacji typu tangens hiperboliczny. Zmienna na osi x została zidentyfikowana jako tzw. pole efektywne, natomiast zmienna na osi y jako magnetyzacja [5]. Pole efektywne reprezentuje kooperatywne oddziaływanie pomiędzy momentami magnetycznymi wewnątrz materiału, w pierwszym przybliżeniu jest ono wyrażone za pomocą dodatniego sprzężenia w systemie jako H eff = H +  M. Pole efektywne może być uzupełnione o dodatkowe czynniki, pozwalające przykładowo na opis procesu magnesowania materiału przy podwyższonej częstotliwości wymuszenia [5, 6]. W równaniach modelu rozważanych uprzednio w pracach [5, 6] składowa magnesowania związana z procesami odwracalnymi była pominięta w celu ich uproszczenia. W pracy [6] wykazano, że struktura równań uproszczonego modelu Takácsa jest równoważna strukturze równań modelu Chuy-Stromsmoe [7]. Równanie opisujące pętlę histerezy osiągającą nasycenie (major loop) oraz inne symetryczne pętle histerezy z uwzględnieniem członu reprezentującego odwracalny proces przemagnesowania może być zapisane w postaci (1)   eff rev TIP TIP c eff s H M H b a H H M M              , tanh 0  gdzie M s oznacza magnetyzację nasycenia, H c0  natężenie koercji w warunkach quasi-statycznego przemagnesowania,  rev jest nowo wprowadzonym bezwymiarowym parametrem reprezentującym odwracalny proces przemagnesowania, natomiast b jest parametrem zależnym od współrzędnych wierzchołka pętli histerezy, określonym za pomocą wyrażenia (2)                             a H H a H H M b c TIP eff c TIP eff s 0 0 tanh tanh 5 , 0 . Równanie (1) jest równaniem uwikłanym, ponieważ pole efektywne jest funkcją magnetyzacji M. Należy zwrócić uwagę na fakt, że w zaproponowanym podejściu składnik związany z odwracalnym procesem przemagnesowania jest funkcją pola efektywnego. Podobne podejście prezentowali Jiles i Atherton w swoim modelu [8]. Alternatywne ujęcie problemu odwracalności procesu przemagnesowania (czynnik odpowiedzialny za te procesy jest funkcją wyłącznie magnetyzacji) rozważał m.in. Harrison [9, 10]. Porównanie właściwości obu możliwych rozszerzeń fenomenologicznego modelu Takácsa będzie przedmiotem dalszych badań. Strategie ewolucyjne Strategie ewolucyjne (SE) należą do klasy stochastycznych metod optymalizacji globalnej [11]. Znajdują zastosowanie przede wszystkim w nieliniowych problemach optymalizacji ciągłej. SE inspirowane są zasadami ewolucji biologicznej i dziedziczności. W iteracyjnym procesie przeszukiwania przestrzeni rozwiązań przetwarza się populacje osobników reprezentujących parametry zadania oraz parametry SE. Osobniki oceniane są pod względem przystosowania do środowiska określonego funkcją celu i ograniczeniami. Osobniki najlepiej przystosowane formują populację przetwarzaną w następnej generacji. W każdej iteracji algorytmu osobniki modyfikuje się za pomocą operatorów genetycznych (rekombinacji oraz mutacji), które generują punkty próbkujące przestrzeń rozwiązań. Znamienną cechą SE jest to, że parametry mutacji podlegają samoadaptacji w procesie ewolucyjnym. Osobnik w SE zbudowany jest z trzech elementów: wektora zmiennych x = [x 1 , x 2 , …, x n ], wektora endogenicznych parametrów SE  = [ 1 ,  2 , …,  n ] oraz z wartości funkcji celu w punkcie x (przystosowania): (3) )) ( , , ( x σ x F o  Składowe wektora  odpowiadają składowym wektora x. Włączenie parametrów algorytmu do struktury osobnika i ich adaptacja w procesie ewolucyjnym, która odbywa się równolegle do adaptacji zmiennych x, jest specyficzną cechą SE. Parametry  kontrolują właściwości statystyczne operatora mutacji. Schemat SE oznaczanej symbolicznie (/+) pokazano na rys. 1.