arXiv:2107.00137v1 [math.RA] 30 Jun 2021 General Leibniz rule for Ward’s differential calculus Ronald Orozco L´ opez October 11, 2021 Abstract In this paper we derive Leibniz’s rule for a calculus on sequences. The main idea is to define a family of products over a ψ-Hurwitz ring that is compatible with the ordinary calculus and with the q-calculus. Keywords: Hurwitz ring, Ward’s calculus, Leibniz’s rule Mathematics Subject Classification: 11B65, 11B39, 13F25 1 Introduction Fontan´ e in [1] public´ o un art´ ıculo en la que generaliz´ o los coeficientes binomiales reemplazando ` n k ˘ “ npn´1q¨¨¨pn´k`1q 1¨2¨¨¨k , formado por n´ umeros naturales, con ` n k ˘ ψ “ ψnψ n´1 ¨¨¨ψ n´k`1 ψ 1 ψ 2 ¨¨¨ψ k , formado por una sucesi´ on arbitraria ψ “tψ n u de n´ umeros reales o complejos. ´ El dio una relaci´ on de recurrencia fundamental para estos coeficientes de tal forma que cuando hacemos ψ n “ n recuperamos los coeficientes binomiales ordinarios y cuando hacemos ψ n “ q n ´ 1 recuperamos los q -coeficientes binomiales estudiados por Gauss, Euler, Jackson y otros. Posteriormente Ward in [10] desarroll´o un c´ alculo sobre sucesiones ψ “tψ n u con ψ 0 “ 0, ψ 1 “ 1y ψ n ‰ 0 para todo n ě 2, y generaliz´ o de este modo el c´ alculo ordinario y el q -c´ alculo de Jackson [4], [5]. De su trabajo surgi´ o un tercer c´ alculo muy estudiado conocido como c´ alculo Fibonomial, en donde ψ n “ F n es la sucesi´ on de Fibonacci definida recursivamente por F n`1 “ F n ` F n´1 , F 0 “ 0, F 1 “ 1. Para m´ as detalles sobre algunos trabajos ve´ ase [2],[3],[7],[8],[9]. Sin embargo, este ´ ultimo c´ alculo no es completo, y cualquiera otro con ψ n ‰ n y ψ n ‰rns, porque a´ un no tienen definida la derivada del producto de funciones y la regla de la cadena. En este trabajo solo abordaremos el problema de construir una regla de Leibniz para un c´ alculo sobre sucesiones. Sea ψ “tψ n u una sucesi´ on de n´ umeros complejos con ψ 0 “ 0y ψ n ‰ 0, para n ě 1. Definimos los n´ umeros ψ-factoriales como ψ n ! “ ψ 1 ψ 2 ¨¨¨ ψ n , donde ψ 0 ! “ 1. Si ψ n “rns“p1 ´ q n q{p1 ´ q q“ 1 ` q `¨¨¨` q n´1 obtenemos los q -factoriales y si ψ n “ F n obtenemos los F -factoriales F n ! “ F 1 F 2 ¨¨¨ F n con F 0 ! “ 1. Los coeficientes 1