Über die Wahrscheinlichkeit des Aussterbens einer Population in einem langsamen periodischen Umfeld https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-02388815 Mathematische und Computermodellierungseinheit für komplexe Systeme, Forschungsinstitut für Entwicklung, Les Cordeliers, Paris, Frankreich, nicolas.bacaer@ird.fr Nizza, Frankreich, lobrinria@wanadoo.fr ITAP, Universität Montpellier, IRSTEA, Montpellier SupAgro, Montpellier, Frankreich, tewfik.sari@irstea.fr Zusammenfassung Wir interessieren uns für die Wahrscheinlichkeit des Aussterbens eines linearen Prozesses von Geburt und Tod bei mehreren Typen in einem periodischen Umfeld innerhalb eines sehr großen Zeitraums. Diese Wahrscheinlichkeit kann an der Grenze eine Diskontinuität in Verbindung mit einer Ente in einem langsam-schnellen dynamischen System aufweisen. Der Diskontinuitätspunkt wird in einem Beispiel mit zwei Arten von Individuen genau bestimmt. Schlüsselwörter: Geburts- und Sterbeprozess, periodisches Umfeld, langsam-schnelles System 1. Einleitung Die Abschätzung der Wahrscheinlichkeit des Aussterbens einer Population ist eine Frage, die insbesondere in der Naturschutzbiologie und in der Epidemiologie eine Rolle spielt. In diesem zweiten Fall ist mit Bevölkerung eine infizierte Bevölkerung gemeint. Ein klassisches mathematisches Modell zur Untersuchung dieser Art von Problem ist das der linearen Prozesse von Geburt und Tod bei einem oder mehreren Individuentypen (Méléard, 2016). In vielen Situationen muss jedoch die Saisonalität der Umwelt berücksichtigt werden, was zur Untersuchung dieser Prozesse führt, wenn die Koeffizienten von Geburt und Tod periodische Funktionen der Zeit sind (Bacaër und Ait Dads, 2014). Bestimmte Populationen oder bestimmte Epidemien weisen Koeffizienten auf, deren Zeitskala im Vergleich zur jährlichen Saisonalität relativ kurz ist. Wir werden daher veranlasst, die Grenze zu betrachten, bei der die Periode der Koeffizienten sehr groß ist. Wenn die Vitalparameter während eines Teils des Zeitraums (beispielsweise der ungünstigen Jahreszeit) unterkritisch sind, beginnt die Wahrscheinlichkeit des Aussterbens in Abhängigkeit von der Jahreszeit, in der der Prozess beginnt, in Richtung einer diskontinuierlichen Grenze (Carmona und Gandon, 2019). Der Diskontinuitätspunkt liegt vor dem Beginn der ungünstigen Saison. Bacaër (2019) hatte diese Studie im Wesentlichen für einen einzelnen Individuentyp fortgesetzt und dabei insbesondere festgestellt, dass die Diskontinuität der Wahrscheinlichkeit des Aussterbens mit dem Vorhandensein einer "Ente" in einem langsam- schnellen dynamischen System zusammenhängt ”, Das heißt (siehe z. B. Lobry (2018, Kapitel 5)) einer Flugbahn, die für eine bestimmte Zeit einen attraktiven Bogen durchläuft, bevor sie einem abstoßenden Bogen folgt. Wir schlagen im Folgenden vor, ein Beispiel mit zwei Arten von Personen zu untersuchen, die von einem Modell der Übertragung einer durch Vektoren übertragenen Krankheit inspiriert sind. Der Punkt der Diskontinuität der Wahrscheinlichkeit des Aussterbens ist genau bestimmt, der in (Carmona und Gandon, 2019; Bacaër, 2019) ungelöst geblieben war. In Abschnitt 2 präsentieren wir das Populationsmodell der linearen Prozesse von Geburt und Tod mit periodischen Koeffizienten für verschiedene Arten von Individuen. Es wird erklärt, dass die Wahrscheinlichkeit des Aussterbens mit einem System gewöhnlicher Differentialgleichungen zusammenhängt. Wenn die Periode gegen unendlich geht, verwandelt eine Änderung der Variablen dieses System in ein langsam-schnelles System mit einer festen Periode. In Abschnitt 3 präsentieren wir ein Beispiel mit zwei Arten von Personen. Numerische Simulationen legen nahe, dass die Wahrscheinlichkeit der Extinktion zu einer diskontinuierlichen Grenze tendiert und dass der Punkt der Diskontinuität durch eine Bedingung bestimmt wird, die das Integral des dominanten Eigenwerts einer bestimmten Matrix beinhaltet. In Abschnitt 4 demonstrieren wir mit nicht standardmäßigen Analysewerkzeugen, dass es diese Bedingung ist, die den Diskontinuitätspunkt bestimmt. In Abschnitt 5 präsentieren wir ein weiteres Beispiel mit dieser Zeit vier Arten von Personen. Eine numerische Simulation legt nahe, dass eine Bedingung desselben Typs immer noch den Diskontinuitätspunkt bestimmt. Es ist uns jedoch nicht gelungen, dies in einem allgemeinen Kontext zu demonstrieren, wenn die Anzahl der Individuentypen streng größer als zwei ist. 2. Das Modell Wir betrachten einen linearen Prozess von Geburt und Tod mit Typen ( ) in einer periodischen Umgebung. ob die Umweltperiode. Wir geben uns zwei Matrixfunktionen und der Größe und Periode mit folgenden Annahmen: für alles und alles . Stellt die Rate dar, mit der Personen vom Typ neue Typ Individuen erzeugen ;