Logarithme /?-adique et groupes de Galois Par Georges Gras ä Besangen Cet article represente, en quelque sorte, la generalisation des idees exposees dans le Chapitre IV de [2], et leur application ä im certain nombre de problemes. Soit k im corps de nombres, et soit $/(k) le groupe de Galois de la pro-/?-extension abelienne /?-ramifiee maximale de k (p premier quelconque). Nous definissons sur <$/(k) des applications, issues du logarithme /?-adique, qui se revelent etre bien adaptees au foraialisme de la theorie du corps de classes global; elles permettent notamment d'elucider sur un certain nombre de points la structure de j/(k) et de son sous-groupe de torsion 3~(k) (nous nous interessons notamment au cas des "CM-fields", i.e. les extensions k quadratiques, totalement imaginaires, d'un corps totalement reel k 0 ). Nous donnons dans le § 2 la definition de ces "logarithmes", et etablissons leurs proprietes fondamentales (theoremes 2. l, 2.2, 2.3), puis nous apportons une solution aux problemes suivants: (i) probleme du plongement dans le compose des Z p -extensions d'un corps de nombres (corollaire au theoreme 2. 1); (ii) determination de la Z 2 [Gal (/c/A: 0 )]-structure du groupe de Galois du com- pose K des Z 2 -extensions d'un "CM-field" k, lorsque k 0 verifie la conjecture de Leopoldt pour p = 2; ceci repond notamment ä une question posee par plusieurs auteurs (cf. [1] ä ce sujet), ä savoir, caracteriser le cas est le compose direct de la Z 2 -extension cyclotomique de k par une extension F de fc, prodiedrale sur k 0 (theoreme 3. 2 et ses corollaires) ; (iü) calcul de l'indice de Res L/K («r(L)) dans 3T(K\ Res L/K : 3/(L)-»d(K) de- signant la restriction des automorphismes, relativement ä une extension L/K de "CM- fields", pour p 2 (theoreme 4. 1); (iv) calcul de l'ordre de &~(L) G 9 dans une extension galoisienne L/ K de "CM- fields", de groupe de Galois G, pour 2 (thooreme 5. 1) (dans le cas /> = 2, nous cal- culons aussi le nombre d'eloments de ^(k) fixes par la conjugaison complexe, pour un "CM-field" k dont le sous-corps roel maximal vorifie la conjecture de Leopoldt pour p = 2 (thooreme 5.2)). Brought to you by | University of Iowa Libraries Authenticated Download Date | 5/31/15 4:17 AM