Rev. Int. M´ et. Num. C´alc. Dis. Ing. (2010) 26: 171-177 Modelado del da˜ no en s´olidos mediante formulaciones variacionales de discontinuidades interiores Jaime Retama Velasco · A. Gustavo Ayala Mili´ an Recibido: Marzo 2010, Aceptado: Abril 2010 c Universitat Polit` ecnica de Catalunya, Barcelona, Espa˜ na 2010 Resumen En este art´ ıculo se presentan diferentes for- mulaciones variacionales para el modelado del da˜ no en s´olidosmediantelaformulaci´onde discontinuidades in- teriores. Inicialmente se establece un funcional de ener- g´ ıa para un medio continuo; y a partir de ´ este se desa- rrollan las formulaciones de desplazamientos y mixta de desplazamientos-deformaciones del m´ etodo de los ele- mentos ﬁnitos para un s´olido donde el da˜ no se modela como una discontinuidad. Para validar la consistencia te´orica de las formulaciones desarrolladas, al ﬁnal del art´ ıculo se presenta un ejemplo de aplicaci´on, y de su an´alisis se emiten comentarios y conclusiones. MODELING OF DAMAGE IN SOLIDS BY VARIATIONAL FORMULATIONS OF EMBEDDED DISCONTINUITIES Summary This paper presents diﬀerent variational for- mulations for the modeling of damage in solids by the embedded discontinuity formulation. Initially the energy functional, for a continuum medium, if presented from which; the displacement and mixed strain-displacement formulations, of the ﬁnite element method, are deve- loped for a solid where the damage is modeled as a discontinuity. To validate the theoretical consistency of the developed formulations, a numerical example is pre- sented. Comments and conclusions, derived from this study, are given at the end of the paper. J. Retama Velasco · A. G. Ayala Mili´ an Universidad Nacional Aut´onoma de M´ exico Instituto de Ingenier´ ıa Departamento de Mec´anica Aplicada Ciudad Universitaria, M´ exico D. F., CP. 04510 Tel.: 52 5556233508 e-mail: JRetamaV@iingen.unam.mx; GAyalaM@iingen.unam.mx 1. Introducci´on El problema de la simulaci´on num´ erica y compu- tacional del da˜ no experimentado por un s´olido, es un tema de inter´ es en diversas ´areas de la ciencia cuya com- plejidad ha dado lugar al desarrollo de nuevos modelos num´ ericos que permiten simular el proceso de degra- daci´ on de los materiales ante diversas condiciones de carga, que eventualmente llevan al s´olido al colapso. En este contexto, se tienen modelos num´ ericos que consideran el problema de da˜ no como una degradaci´on de las propiedades mec´anicas del material sin la nece- sidad de redeﬁnir la cinem´atica del continuo; este tipo de modelos incluyen al de agrietamiento distribuido y el de da˜ no continuo [1,2,3]. En esta misma direcci´on se encuentran los modelos donde adem´as de modiﬁcar la ley constitutiva del material de acuerdo al da˜ no que ´ este experimenta, modiﬁcan la cinem´atica del continuo al enriquecer los campos en los que se requiere un com- portamiento discontinuo; modelos como el del elemento ﬁnito extendido, XFEM por sus siglas en ingles, y el de partici´ on de la unidad pertenecen a este tipo de mode- los num´ ericos [4]. Estrictamente hablando los modelos anteriormente mencionados distribuyen el da˜ no en todo el elemento, en su discretizaci´on mediante el m´ etodo de los elemen- tos ﬁnitos (MEF); sin embargo ´ esto no permite mode- lar correctamente grietas localizadas o procesos de da˜ no en materiales donde claramente existe una discontinui- dad que provoca una descarga de las partes en las que el s´olido se divide. Para simular este tipo de proble- mas de da˜ no, se han desarrollado modelos, como el de discontinuidades interiores (DI) que situan el da˜ no, en consistencia con el problema f´ ısico, mediante una dis- continuidad f´ ısica dentro del elemento [5,6,7]; ´ esto se