Pädi Boletín Científico de Ciencias Básicas e Ingenierías del ICBI https://repository.uaeh.edu.mx/revistas/index.php/icbi/issue/archive DESDE 2013 Publicaci´ on Semestral P¨ adi Vol. 10 No. Especial (2022) 52–58 ISSN: 2007-6363 Sobre la igualdad entre la envolvente convexa de dos c´ ırculos con la uni ´ on de cierta familia de elipses On the equality of the convex hull of two circles with the union of certain family of ellipses Benjam´ ın A. Itz´ a-Ortiz ID a , Rub´ en A. Mart´ ınez-Avenda˜ no ID b , Victor Nopal-Coello ID a,∗ , Rafael Villarroel-Flores ID a a ´ Area Acad´ emica de Matem ´ aticas y F´ ısica, Universidad Aut´ onoma del Estado de Hidalgo, 42184, Mineral de la Reforma, Hidalgo, M´ exico. b Departamento Acad´ emico de Matem ´ aticas, Instituto Tecnol´ ogico Aut´ onomo de M´ exico, 01080, Ciudad de M´ exico, Mexico. Resumen En este art´ ıculo damos una prueba alternativa y elemental a un resultado propuesto por los primeros dos autores sobre la expresi´ on de la envolvente convexa de dos c´ ırculos como la uni´ on de una familia no-numerable de elipses. Las herramientas empleadas incluyen c´ alculo elemental y geometr´ ıa anal´ ıtica. Es de hacer notar que el empleo de estas herramientas, permitieron la demostraci´ on de un resultado un poco m´ as general que el original. Palabras Clave: Conjuntos convexos, envolvente convexa, elipses Abstract In this article, we propose an alternative and elementary proof to a result proposed by the first two authors about the expression of certain convex hull of two cirles as the union of an uncountable family of ellipses. The tools employed include elementary calculus and analytic geometry. As a matter of fact, the tools employed allowed the proof of a slightly more general result than the original. Keywords: Convex sets, convex hull, ellipses. 1. Introducci´ on Un subconjunto convexo A de R n es aquel que satisface que para cualesquiera dos puntos  x y  y en A, el segmento de recta que une a  x y  y est´ a contenido en A. Los conjuntos convexos son usados en una amplia variedad de aplicaciones en las ciencias, por ejemplo en investigaci´ on de operaciones (Hillier and Lie- berman, 2015), teor´ ıa de operadores (Brown and Carl, 1977), geometr´ ıa (Leonard and Lewis, 2015), entre otros. Una clase importante de conjuntos convexos en el plano car- tesiano se define por medio del rango num´ erico de operadores acotados en espacios de Hilbert (Mart´ ınez-Avenda˜ no and Ro- senthal, 2007). En (Itz´ a-Ortiz and Mart´ ınez-Avenda˜ no, 2021) se demuestra que el rango num´ erico de ciertos operadores pue- de representarse como la uni´ on infinita de otros conjuntos con- vexos m´ as sencillos. En particular, la proposici´ on 3.4 en (Itz´ a- Ortiz and Mart´ ınez-Avenda˜ no, 2021) afirma que la envolvente convexa de la uni´ on de los c´ ırculos con centro en 1 y −1 y ra- dio 1/2 es igual a la cerradura de la envolvente convexa de la uni´ on infinita de ciertas elipses. En este trabajo nos propone- mos dar una prueba alternativa y elemental de dicho resultado. Las herramientas que se usar´ an consisten de c´ alculo elemental y geometr´ ıa anal´ ıtica. Una de las ventajas en el empleo de estas herramientas elementales es el hecho de que permiten reducir el conjunto sobre el que se toma la uni ´ on de las elipses en la uni ´ on infinita y permiten omitir la cerradura en la envolvente convexa. T´ ecnicas elementales han sido usadas en la literatura para esta- blecer la igualdad de conjuntos convexos con uniones infinitas de elipses, por ejemplo, en (Hern´ andez-Becerra and Itz´ a-Ortiz, 2016). Las elipses que se ocupan en el art´ ıculo se definen a conti- nuaci´ on. Definici´ on 1.1. Sea φ ∈  − π 2 , π 2  y sea w = 1 + e iφ . Denote- ∗ Autor para correspondencia: ving89@hotmail.com. Correo electr´ onico: itza@uaeh.edu.mx (Benjam´ ın Alfonso Itz´ a-Ortiz), rubeno71@gmail.com (Rub´ en Alejandro Mart´ ınez-Avenda˜ no), ving89@hotmail.com (Victor Nopal-Coello), rafaelv@uaeh.edu.mx (Rafael Villarroel-Flores). Fecha de recepci´ on: 01/12/2021 Fecha de aceptaci´ on: 04/02/2022 Fecha de publicaci´ on: 22/04/2022 https://doi.org/10.29057/icbi.v10iEspecial.8444