Notes /?-adiques sur les courbes elliptiques Par D. Bernardi ä Paris, C. Goldstern a Orsay et N. Stephens*) ä Cardiff 0. Introduction Le but de cet article est de presenter certaines conjectures concernant les fonctions L /?-adiques associees aux courbes elliptiques ä multiplication complexe, et de les illustrer par des exemples numeriques relatifs aux courbes Y 2 = X 3  —DX. La premiere de ces conjectures (A), souvent appelee conjecture principale, affirme que ces fonctions sont essentiellement les series caracteristiques du dual d'un certain groupe de Seimer attache ä la courbe; la seconde (B) relie le quotient du coefficient dominant de l'une d'elles au voisinage du point l par le volume /?-adique du groupe des points rationnels de la courbe ä son analogue complexe. Dans la premiere partie nous enongons ces conjectures et explicitons leurs liens entre elles, ainsi qu'avec la conjecture de Birch et Swinnerton-Dyer. La deuxieme partie est consacree ä la construction des fonctions L /7-adiques et ä la demonstration d'un resultat tres partiel relatif ä la conjecture A, analogue ä ce que obtient ä partir de la formule analytique du nombre de classes dans le cas cyclotomique; nous y expliquons egalement la construction des exemples numeriques presentes dans la table I. La troisi£me partie rassemble le materiel relatif ä la conjecture B: construction de la hauteur /?-adique, exemples numeriques, explication de la table II. Dans la derniere partie, enfin, nous indiquons le principe du calcul des valeurs numeriques utilisoes dans les exemples. Nous avons beneficie de fructueuses discussions avec Bernadette Perrin-Riou que nous tenons ä remercier, ainsi que John Coates qui nous a propose ce travail et Gudrun Brattström qui nous a suggere quelques ameliorations. I. Les conjectures Soit E une courbe elliptique definie sur un corps quadratique imaginaire K, admettant des multiplications complexes par les elements de l'anneau o des entiers de K. Nous notons p un nombre premier impair, etranger au conducteur de la courbe et decompose dans K en deux facteurs premiers, soit (1) (P) = PP*· *) Subventionn£ pendant la duroe de ce travail par The Royal Society. Brought to you by | University of Iowa Libraries Authenticated Download Date | 6/4/15 9:14 AM