Applied mechanics 25  V. Ol’shanskii, O. Spol’nik, M. Slipchenko, V. Znaidiuk, 2019 1. Introduction The impact interaction between solid bodies typically occurs over a short period of time and is accompanied by large dynamic loads, which could result in the possible de- struction of structures’ elements. Thus, it is only natural that the simplest theories for calculating the canonical bodies for strength upon impact are highlighted in the resistance of materials [1, 2]. They consider an impact to be instantaneous and, rather than the magnitude of force, apply its momen- tum. Actually, they consider not the process of a mechanical impact, but its consequences, that is a post-impact motion. 19. A numerical analysis of non-linear contact tasks for the system of plates with a bolted connection and a clearance in the fixture / Atroshenko O., Bondarenko O., Ustinenko O., Tkachuk M., Diomina N. // Eastern-European Journal of Enterprise Technologies. 2016. Vol. 1, Issue 7 (79). Р. 24–29. doi: https://doi.org/10.15587/1729-4061.2016.60087 20. Thinwalled structures: analysis of the stressedstrained state and parameter validation / Tkachuk M., Bondarenko M., Grabovskiy A., Sheychenko R., Graborov R., Posohov V. et. al. // Eastern-European Journal of Enterprise Technologies. 2018. Vol. 1, Issue 7 (91). P. 18–29. doi: https://doi.org/10.15587/1729-4061.2018.120547 21. Numerical methods for contact analysis of complex-shaped bodies with account for non-linear interface layers / Tkachuk M. M., Skripchenko N., Tkachuk M. A., Grabovskiy A. // Eastern-European Journal of Enterprise Technologies. 2018. Vol. 5, Issue 7 (95). P. 22–31. doi: https://doi.org/10.15587/1729-4061.2018.143193 22. Tkachuk M. A numerical method for axisymmetric adhesive contact based on kalker’s variational principle // Eastern-European Journal of Enterprise Technologies. 2018. Vol. 3, Issue 7 (93). P. 34–41. doi: https://doi.org/10.15587/1729-4061.2018.132076 MODELING THE ELASTIC IMPACT OF A BODY WITH A SPECIAL POINT AT ITS SURFACE V. Ol’shanskii Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Professor* Е-mail: OlshanskiyVP@gmail.com O. Spol’nik Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Professor* Е-mail: alexspo@ukr.net M. Slipchenko PhD, Associate Professor* Е-mail: Slipchenko1982@gmail.com V. Znaidiuk PhD* Е-mail: karlsonman@gmail.com *Department of Physics and Theoretical Mechanics Kharkiv Petro Vasylenko National Technical University of Agriculture Alchevskikh str., 44, Kharkiv, Ukraine, 61002 Розглянуто пружний прямий удар по плоскiй границi нерухо- мого пiвпростору тiла, обмеженого в зонi контактної взаємодiї поверхнею обертання, порядок якої менший двох. Особливiсть задачi полягає в тому, що для вибраного випадку нескiнчен- на кривизна граничної поверхнi в точцi первiсного контакту, з якої розпочинається процес динамiчного стискання тiл у часi. Крiм основних припущень не хвильової квазистатичної теорiї пружного удару твердих тiл, тут використано також вiдомий розв’язок статичної вiсесиметричної контактної задачi теорiї пружностi. Процес удару з невеликою початковою швидкiстю подiлено на два етапи, а саме на динамiчне стискання i динамiч- не розтискання. Для кожного з них побудовано аналiтичний розв’язок нелiнiйного диференцiального рiвняння вiдносного зближення у часi центрiв мас тiл. Розв’язок нелiнiйної задачi з початковими умовами для диференцiального рiвняння другого порядку на першому етапi виражено через Ateb-синус, а на дру- гому – через Ateb-косинус. Для спрощення розрахункiв складено окремi таблицi вказаних спецiальних функцiй, а також запро- поновано компактнi апроксимацiї їх елементарними функцiя- ми. Встановлено, що похибка аналiтичних наближень обох спецiальних функцiй менша одного вiдсотка. Виведено також замкненi вирази для обчислень максимальних значень: стис- кання тiл, сили удару, радiуса кругової площадки контакту та тиску, який обмежений у центрi цiєї площадки. Розглянуто чис- ловий приклад, пов’язаний з ударом жорсткого пружного тiла по гумовому пiвпростору. Задачi такого типу виникають при моделюваннi динамiчної дiї кускiв твердої мiнеральної сировини на гуму, при падiннi їх на футерованi гумою валки вiбрацiйно- го класифiкатора. Внаслiдок порiвняння розрахованих параме- трiв удару, одержано гарну узгодженiсть числових результа- тiв, до яких призводять побудованi аналiтичнi розв’язки та iнтегрування нелiнiйного рiвняння на комп’ютерi. Цим пiдтвер- джена вiрогiднiсть побудованих аналiтичних розв’язкiв задачi удару, якi дають розгортку короткочасного процесу в часi Ключовi слова: пружний удар, особлива точка на поверхнi контакту, перiодичнi Ateb-функцiї UDC 534.1:539.3 DOI: 10.15587/1729-4061.2019.155854