SQU Journal for Science, 2019, 24(1), 57-70 DOI: 10.24200/squjs.vol24iss1pp57-70 Sultan Qaboos University 57 Two Groups   .  () and   :   () of Order 1344 Mehmet Koca 1 , Ramazan Koc 2 and Nazife O. Koca 3 * 1 Retired Professor; 2 Department of Physics, Faculty of Engineering, Gaziantep University, 27310 Gaziantep, Turkey; 3 Department of Physics, College of Science, Sultan Qaboos University, P.O. Box 36, PC 123, Al-Khod, Muscat, Sultanate of Oman. *E-mail: nazife@squ.edu.om. ABSTRACT: We analyze the group structures of two groups of order 1344 which are respectively non-split and split extensions of the elementary Abelian group of order 8 by its automorphism group  2 (7). Two groups have the same number of conjugacy classes and the set of dimensions of irreducible representations is equal. The group 2 3 . 2 (7) is a finite subgroup of the Lie Group  2 preserving the set of octonions ±  , ( = 1,2, … ,7) representing a 7- dimensional octahedron. Its three maximal subgroups 2 3 : 7: 3, 2 3 . 4 and 4.  4 :2 correspond to the finite subgroups of the Lie groups  2 , (4) and (3) respectively. The group 2 3 :  2 (7) representing the split extension possesses five maximal subgroups 2 3 : 7: 3, 2 3 : 4 , 4:  4 :2 and two non-conjugate Klein’s group  2 (7). The character tables of the groups and their maximal subgroups, tensor products and decompositions of their irreducible representations under the relevant maximal subgroups are identified. Possible implications in physics are discussed. Keywords: Finite groups; Discrete octonions; Group extensions; Character table; Tensor products. جموعتين م  .  () و  :   () د عناصرها عد4411 حمد كوجا م 4 وك ، رمضان ك 2 وزيدس كوجا نزيفة أو 4 ال م لخ ص: اصرهند عن لمجموعتين عدشكل اليل قمنا بتحل4411 دائية ذاتن البتبيليامجموعة القسوم ل وغير المقسوماد الميب المتدرتى الت وهن عل ورفيسمتومة في جروب الولثمانيصر العنا ا 2 (7) ريديوسبل ال تمثيلة في وأيضا أبعادهن متساويسي كلس كوجنسد من نفس العدن يمتلكن .المجموعتي. المجموعة. 2 (7) 2 3 تهية من ليا جروبوعة جزئية منجم هي م 2 يونسجموعة الكوتن وتحافظ على م±  , ( = 1,2, … ,7) مثل أوكتاهدرون وت موعة جزئيةها ثلثة مجعة أبعاد. ل في سب2 3 : 7: 3 و2 3 . 4 و4.  4 :2 تهية من ليا جروبوعات جزئية منجمثل م الجزئية تملمجموعاتذه ا وه 2 و (4) و(3) رتيب. المجموعة بالت2 3 :  2 (7) ة وهيموعات جزئيس مجمتلك خمقسوم تاد الم المتد تمثل2 3 : 7: 3 و2 3 : 4 و4:  4 :2 لكلين جروبت الغير المرافقة للمجموعاتين من ا واثن 2 (7) . جداسر وتقسيماتهن التنجات الجزئية ومنتجموعاتهنعات ومذه المجموائص له الخص ول زياء. الفيقات فيعض التطبيت مناقشة ب تحديدها. كما تمجزئية كلها تمتهن الجموعاحت مريديوسبل تتهن الى تمثيل إل ال كلمات ال مفتاحية: عة، جدولاد المجونفصلة، إمتدهية، كواتنينس الم المنتلمجموعات ا التنسرجاتائص، منت الخص. 1. Introduction e have introduced some part of this work in an earlier publication [1]. Since then we have observed that the simple group like  2 (7) [2] and the subgroups thereof 7: 3 [3],  4 and  4 [4, 5, 6, 7, 8, 9] have been proposed to explain the properties of the Tri-Bimaximal Neutrino Mixing [10]. When the charged leptons and quark masses are incorporated into the scheme we may think of much larger discrete symmetries broken down to the aforementioned finite subgroups of (3). Along with these lines we would like to introduce two groups of order 1344 which are non-split and split extensions of the elementary Abelian group 2 3 of order 8 by its automorphism group  2 (7). Before we proceed further a glossary may be introduced for the group theoretical concepts and notations used throughout the paper. We follow the notations of the Atlas of Finite Groups [11]. A cyclic group of order p is denoted by p. An elementary Abelian group of order   (denoted also by   ) is the direct product of n cyclic groups of each having order p. Thus, the elementary abelian group 2 3 is the direct product of three cyclic groups of order 2. W