1866 МАТЕМАТИЧЕСКИЙ СБОРНИК Том 0, № 0 УДК 519.853.62 Е. Л. Гладин, И. А. Курузов, Д. А. Пасечнюк, Ф. С. Стонякин, М. С. Алкуса, А. В. Гасников Решение сильно выпукло-вогнутых композитных седловых задач с небольшой размерностью одной из групп переменных Статья посвящена разработке алгоритмических методов, гарантирую- щих эффективные оценки сложности для сильно выпукло-вогнутых сед- ловых задач в случае, когда одна из групп переменных имеет большую размерность, а другая ҫ достаточно малую (до сотни). Предлагаемая ме- тодика основана на сведении задач такого типа к задаче минимизации выпуклого (максимизации вогнутого) функционала по одной из перемен- ных, для которого возможно найти приближённое значение градиента в произвольной точке с необходимой точностью с помощью вспомогатель- ной оптимизационной подзадачи по другой переменной. При этом для маломерных задач предлагается использовать метод эллипсоидов или ме- тод Вайды (с использованием δ-субградиента вместо обычного градиента, если в качестве основной подзадачи выбирается задача небольшой размер- ности), а для многомерных ҫ ускоренные градиентные методы (с неточным оракулом, если в качестве основной подзадачи выбирается задача боль- шой размерности). Метод Вайды по сравнению с методом эллипсоидов приводит к лучшей оценке достаточного для достижения нужного каче- ства приближённого решения количества итераций, но итерация метода эллипсоидов менее затратна. Попутно прорабатывается вопрос влияния погрешности субградиента на качество выхода для методов эллипсоидов и Вайды. Для случая сильно малой размерности задачи одной из групп пе- ременных (до 5) на гиперкубе достаточно эффективным будет иной пред- лагаемый подход к сильно выпукло-вогнутым седловым задачам на основе нового варианта многомерного аналога метода Ю.Е. Нестерова на квад- рате (многомерная дихотомия) с возможностью использования неточных значений градиента целевого функционала. Библиография: 35 названий. Ключевые слова: седловая задача, метод эллипсоидов, метод Вайды, δ-субградиент, ускоренные градиентные методы, неточный субградиент, гиперкуб, дихотомия. љ 1. Введение Седловые задачи весьма актуальны, поскольку возникают в реальных про- блемах машинного обучения, компьютерной графики, теории игр, а также тео- рии оптимального транспорта. Ввиду важности таких задач известно немало Работа выполнена при поддержке Министерства науки и высшего образования Российской Федерации (госзадание) № 075-00337-20-03, номер проекта 0714-2020-0005. c ○ Е. Л. Гладин, И. А. Курузов, Д. А. Пасечнюк, Ф. С. Стонякин, М. С. Алкуса, А. В. Гасников, 2021 arXiv:2010.02280v3 [math.OC] 15 Nov 2021