Buletin Ilmiah Mat. Stat. dan Terapannya (Bimaster) Volume 03, No. 2(2014), hal 107 – 116. 107 METODE ADAMS-BASHFORTH-MOULTON DALAM PENYELESAIAN PERSAMAAN DIFERENSIAL NON LINEAR Apriadi, Bayu Prihandono, Evi Noviani INTISARI Metode Adams-Bashforth-Moulton merupakan cara mencari solusi numerik pada titik tertentu dari suatu persamaan diferensial non linear dengan nilai awal yang telah diketahui. Persamaan diferensial tersebut terlebih dahulu diselesaikan menggunakan metode Runge-Kutta orde empat untuk memperoleh empat solusi awal yang kemudian disubstitusikan ke persamaan prediktor Adams-Bashforth orde empat. Selanjutnya nilai prediksi tersebut diperbaiki menggunakan persamaan korektor Adams-Moulton orde empat. Metode Adams-Moulton dapat diselesaikan secara iterasi. Iterasi dihentikan apabila galat relatif kurang dari kriteria pemberhentian. Agar jumlah iterasi pada korektor Adams-Moulton dapat berkurang, maka diperlukan analisis pemilihan ukuran langkah h. Dalam menganalisis kriteria pemilihan ukuran langkah h, terlebih dahulu ditentukan galat relatif ε terhadap iterasi sebelumnya. Jika galat relatifnya berada dalam interval (ε 1 , ε 2 ), dengan ε 1 dan ε 2 merupakan kriteria pemilihan ukuran langkah h, maka h telah optimal dan untuk langkah berikutnya digunakan nilai h yang sama dengan langkah sebelumnya. Jika galat relatif tidak memenuhi kriteria pemilihan ukuran langkah h, maka ukuran langkah h diubah dan kembali dihitung empat solusi awal menggunakan metode Runge-Kutta orde empat hingga diperoleh ukuran langkah h yang optimal. Metode Adams-Bashforth-Moulton orde empat dapat digunakan untuk mencari solusi numerik dari persamaan bandul sederhana dengan ukuran langkah h=0,1 dan sudut awal 60 o yang dibentuk oleh tali bandul dengan garis vertikal. Solusi numerik persamaan bandul sederhana pada saat t=1 detik dengan ukuran langkah optimal h=0,05 adalah 39,21921867 o . Kata Kunci : Metode Adams-Bashforth dan Metode Adams-Moulton PENDAHULUAN Persamaan diferensial banyak ditemukan dalam berbagai bidang, sebagai contoh dalam bidang teknik, kedokteran, ekonomi, dan matematika. Motivasi munculnya persamaan diferensial secara umum berhubungan dengan kecepatan perubahan suatu variabel terhadap variabel lainnya. Persamaan diferensial adalah persamaan yang memuat turunan satu atau beberapa fungsi yang tidak diketahui. Persamaan diferensial biasa terbagi menjadi dua yaitu persamaan diferensial biasa linear dan non linear. Gabungan dari beberapa persamaan diferensial disebut sistem persamaan diferensial [1]. Persamaan diferensial non linear sering dijumpai dalam kehidupan sehari-hari. Persamaan bandul sederhana yang dibahas pada penelitian ini merupakan salah satu contoh persamaan diferensial non linear. Persamaan diferensial biasa non linear adalah persamaan diferensial biasa yang memuat variabel terikat dan turunan-turunannya yang berderajat lebih dari satu, terdapat perkalian antara variabel terikat dengan turunannya, serta variabel terikat yang dapat diubah ke dalam deret Taylor (misalkan sin y). Suatu persamaan diferensial dapat diselesaikan secara analitik atau secara numerik. Sebagian besar persamaan diferensial non linear sulit ditemukan solusinya secara analitik, sehingga penyelesaian secara numerik dapat digunakan untuk memperoleh solusi persamaan diferensial non linear tersebut. Solusi yang diperoleh dari metode numerik merupakan solusi hampiran atau pendekatan dari solusi analitiknya, sehingga solusi numerik tersebut memuat nilai kesalahan. Metode numerik adalah teknik yang digunakan untuk memformulasikan persoalan matematika sehingga dapat diselesaikan dengan operasi perhitungan atau aritmetika biasa (tambah, kurang, kali, dan bagi) [2]. Metode numerik dapat digunakan untuk menyelesaikan masalah sistem persamaan yang besar, persamaan-persamaan non linear, masalah geometri yang rumit serta suatu persamaan yang sangat kompleks yang sulit untuk diselesaikan secara analitik. Metode numerik dalam penyelesaian persamaan diferensial biasa terbagi atas dua metode, yaitu metode one-step dan metode multi-step.