Tuyển tập Hội nghị khoa học toàn quốc lần thứ nhất về ộng lực học và iều khiển à Nẵng, ngày 19-20/7/2019, tr. 318-323, DOI 10.15625/vap.2019000296 Dao động cộng hưởng của dầm phi tuyến hình học với ma sát cấp phân số Nguyễn Vn Khang, Trương Quốc Chiến, Phạm Thành Chung Bộ môn Cơ học ứng dụng, Viện Cơ khí, Trường Đại học Bách khoa Hà Nội E-mail: khang.nguyenvan2@hust.edu.vn, chung.phamthanh@hust.edu.vn Tóm tắt ạo hàm cấp phân số đang được sử dụng để mô tả quan hệ giữa ứng suất và biến dạng, giữa lực và dịch chuyển, giữa lực và vận tốc,… trong các hệ cơ học và cơ điện tử. Bài báo này nghiên cứu dao động của dầm tính đến yếu tố phi tuyến hình học và cản cấp phân số. Sử dụng phương pháp trung bình hóa tính toán dao động cộng hưởng của dầm và ảnh hưởng của số hạng cản cấp phân số đến đường cong biên độ - tần số. Từ khóa: dầm phi tuyến hình học, đạo hàm cấp phân số, dao động cộng hưởng, phương pháp trung bình hóa. 1. Mở đầu ạo hàm và tích phân cấp phân số đã được đề cập đến từ cuối thế kỷ XVII. Tuy nhiên phải đến cuối thế kỷ XIX lý thuyết đạo hàm và tích phân cấp phân số mới được nghiên cứu bởi các nhà toán học Liouville, Grünwald, Letnikov, Riemann, v.v… Lúc đầu lý thuyết đạo hàm cấp phân số được phát triển chủ yếu như là một lnh vực lý thuyết thuần tuý của toán học và chỉ hữu ích cho các nhà toán học. Tuy nhiên, một vài chục nm gần đây, nhiều tác giả đã chỉ ra rằng đạo hàm và tích phân cấp không nguyên rất phù hợp cho sự mô tả tính chất của nhiều loại vật liệu mới, chẳng hạn như vật liệu polymer. Họ cng chỉ ra rằng những mô hình cấp phân số thích hợp hơn những mô hình cấp nguyên đã được sử dụng trước đó. Sự xem xét về mặt vật lý càng cho thấy việc sử dụng các mô hình dựa trên đạo hàm cấp phân số là hợp lý và phù hợp [1-7]. Trong bài báo này, áp dụng phương trình dao động phi tuyến của dầm của dầm [8] thiết lập phương trình vi tích phân phi tuyến mô tả dao động của dầm khi chú ý đến tính chất phi tuyến hình học và cản cấp phân số. Sử dụng phương pháp Ritz-Galerkin biến đổi phương trình vi tích phân mô tả dao động uốn của dầm về hệ phương trình vi phân thường. Sau đó áp dụng phương pháp trung bình hóa tính toán dao động cộng hưởng của dầm. 2. Biến đổi phương trình dao động của dầm phi tuyến về hệ phương trình vi phân thường Trong bài báo này xét dao động uốn của dầm khi tính chất đàn hồi của vật liệu tuân theo quy luật đàn hồi tuyến tính, xét ảnh hưởng của tính phi tuyến hình học và bỏ qua tác dụng của lực ở đầu trục, 0 () 0 Pt . Khi đó phương trình dao động uốn của dầm chú ý đến tính phi tuyến hình học có dạng [8, 9] 4 2 2 4 2 2 (,) f w w w w EI N A kw pxt t x x t (1) Hình 1. Mô hình dầm Xét trường hợp trên dầm còn có thêm thành phần cản cấp phân số w t . Khi đó phương trình (1) trở thành 4 2 2 4 2 2 w w w EI N A x x t (,) f w w kw pxt t t (2) Trong (2), thành phần lực dọc N có dạng 2 0 2 L EA w N dx L x (3) Áp dụng phương pháp Ritz-Galerkin ta tìm nghiệm của phương trình vi - tích phân (2) dưới dạng 1 (,) () () n n n wxt xq t (4) Trong đó () n x là hàm dạng của dầm. Theo [10] hàm dạng () n x thỏa mãn phương trình sau 4 4 2 () () n n n d A EI d x x x (5) Trong đó 4 4 2 4 n n EI AL (6) Từ (4) ta suy ra 1 ) ( ( ) i i i d x w q x dx t Do đó 2 1 1 () () () () j j i i i j d x d x w w w qtq t x x x dx dx (7) Thế (7) vào biểu thức (3) ta được x z (,) p xt 0 () Pt