Sferna i hiperboli ˇ cka trigonometrija Iva Kav ˇ ci´ c 1 , Vedran Krˇ cadinac 2 Uvod Osnovna zada´ ca trigonometrije je odre - divanje nepoznatih veli ˇ cina trokuta iz zadanih veli ˇ cina. U pravokutnom trokutu s katetama duljine a i b , hipotenuzom duljine c i kutovima mjere α i β vrijedi cos α = b c , cos β = a c . (1) S pomo´ cu tih relacija mo ˇ zemo izra ˇ cunati duljinu katete iz duljine hipotenuze i mjere prile ˇ ze´ ceg kuta, a s pomo´ cu relacija sin α = a c , sin β = b c (2) iz mjere nasuprotnog kuta. Relacije koje povezuju duljine dviju kateta s mjerama kutova su tg α = ctg β = a b , tg β = ctg α = b a . (3) Pravokutni trokut odre - den je jednim svojim oˇ strim kutom do na sli ˇ cnost, a omjeri njegovih stranica jednozna ˇ cno su odre - deni. Zato su ove relacije zapravo definicije trigonometrijskih funkcija za kutove iz intervala  0, π 2  . Poznatom konstrukcijom namatanja brojevnog pravca na kru ˇ znicu proˇ sirujemo ih do funkcija definiranih na R . Slika 1. Sferni trokut. Prema nedavno objavljenom radu [8], trigonomet- rijske probleme rjeˇ savali su joˇ s stari Babilonci u 18. stolje´ cu prije nove ere. Ipak, otkri´ ce trigonometrije obi ˇ cno se pripisuje starogr ˇ ckim matemati ˇ carima iz 2. stolje´ ca prije nove ere [11]. Zbog primjena u astronomi- ji, u tom razdoblju ve´ c su bili poznati trigonometrijski identiteti za trokute na sferi. Kao ilustraciju primje- na trigonometrije u astronomiji i drugdje, upu´ cujemo ˇ citatelja na [1] i [6]. Zbroj kutova ravninskog trokuta jednak je π , a sfernog trokuta je ve´ ci od π . Mno- go kasnije, u 19. stolje´ cu, otkrivena je hiperboli ˇ cka geometrija [2] u kojoj je zbroj kutova trokuta manji od π . U ovom ˇ clanku izvest ´ cemo trigonometrijske identitete za sferni i hiperboli ˇ cki trokut koriste´ ci se modelima sfere i hiperboli ˇ cke ravnine u vektorskom prostoru R 3 . Vidjet ´ cemo sli ˇ cnosti i razlike prema klasi ˇ cnoj, euklidskoj trigonometriji. Izvedene formule dat 1 Autorica je diplomirala na Matemati ˇ ckom odsjeku PMF-a u Zagrebu i radi kao koordinatorica operativnog i digitalnog poslovanja u tvrtki Styria medijski servisi; e-poˇ sta: iva.kavcic@gmail.com 2 Autor je izvanredni profesor na Matemati ˇ ckom odsjeku PMF-a; e-poˇ sta: vedran.krcadinac@math.hr Matemati ˇ cko-fizic ˇki list, LXIX 1 (2018. – 2019.) 17