Commun. Math. Phys. 177, 583-602 (1996) Communications ifl Mathematical Physics © Springer-Verlag 1996 Decay Rates of Solutions of an Anisotropic Inhomogeneous /i-Dimensional Viscoelastic Equation with Polynomially Decaying Kernels Jaime E. Munoz Rivera 1 '*, Eugenio Cabanillas Lapa 2 *** 1  National Laboratory for Scientific Computation, Department of Research and Development, Rua Lauro Mύller 455, Botafogo Cep. 22290, Rio de Janeiro, RJ, Brasil, and IM, Federal University of Rio de Janeiro 2  Universidad Nacional Mayor de San Marcos. Av. Venezuela s/n, Lima, Peru Received: 11 August 1994 / Accepted: 28 August 1995 Abstract: We consider the anisotropic and inhomogeneous viscoelastic equation and we prove that the first and second order energy decay polynomially as time goes to infinity when the relaxation function also decays polynomially to zero. That is, if the kernel G^/ satisfies 1 +  1  l + i Gijki ^ - c o G ijki P >  and G ίjki> G ijki P e L  ( R )  for  P >  2 sucn tnat  2 m  - 1 < P, then the first and second order energy decay as  π  * with q = 2 m  — 1. 1. Introduction Several authors have studied the asymptotic stability of the solutions in visco- elasticity. Thanks to the works [1-5,8,9,11] among others, it is well known that the stability holds for inhomogeneous and anisotropic /7-dimensional materials and also for one-dimensional nonlinear equations. The question now is about the uniform rate of decay of the solution as time goes to infinity. Somehow, the way that the solution goes to zero depends on the decay of the kernel as time goes to infinity. We may ask, under what conditions on the kernel does the solution decay to zero exponentially or at least polynomially? To fix ideas, let us consider the simplest homogeneous isotropic « -dimensional viscoelastic equation with density u tt  - μλu - (μ + λ)Vάivu + fg(t - τ)[μΔu -(μ + A)Vdiv u]dτ = 0 , (1.1) o where λ and μ stand for Lame's constant and by g we denote the relaxation function. The kernel "#" plays an important role in the study of the asymptotic behaviour of the solutions.To see this, let us cite a few results about the uniform rate of decay. For example, in the work of Hrusa [8] the author showed, among others, properties * Supported by a grant of CNPq. ** Supported by a grant of CNPq.