Ricerche mat. (2014) 63 (Suppl 1):S131–S141 DOI 10.1007/s11587-014-0203-y An integral form of the isoperimetric inequality Fernando Farroni · Luigi Greco · Lucia Migliaccio · Gioconda Moscariello Received: 3 July 2014 / Accepted: 21 July 2014 / Published online: 22 August 2014 © Università degli Studi di Napoli "Federico II" 2014 Abstract We study stability for an integral isoperimetric inequality. Keywords Isoperimetric inequality · Orlicz spaces Mathematics Subject Classification 35J60 · 46E30 1 Introduction The classical isoperimetric inequality asserts that nω 1 n n | E | n-1 n  P ( E ), (1) Communicated by Salvatore Rionero. This research has been partially supported by the 2010 PRIN “Calculus of Variations’. The first Author has also been supported by the 2008 ERC Advanced Grant 226234 “Analytic Techniques for Geometric and Functional Inequalities” and by the Gruppo Nazionale per l’Analisi Matematica, la Probabilità e le loro Applicazioni (GNAMPA) of the Istituto Nazionale di Alta Matematica (INdAM). F. Farroni · L. Greco · L. Migliaccio · G. Moscariello (B ) Dipartimento di Matematica e Applicazioni “R. Caccioppoli”, Università degli Studi di Napoli “Federico II”, Via Cintia, 80126 Naples, Italy e-mail: gmoscari@unina.it F. Farroni e-mail: fernando.farroni@unina.it L. Greco e-mail: luigreco@unina.it L. Migliaccio e-mail: lumiglia@unina.it 123