COLLOQUIUM MATHEMATICUM VOL. 123 2011 NO. 2 UNE REMARQUE SUR LES ESPACES D’INTERPOLATION A β QUI SONT FAIBLEMENT LUR PAR MOHAMMAD DAHER (Le Mée-sur-Seine) Abstract. Let (A0,A1) be a pair of interpolation spaces and β ∈ ]0, 1[. We show that if (A β ,n β ) is a weakly-LUR space for a specific norm n β (equivalent to the natural one), then A θ = A θ for every θ ∈ ]0, 1[. 1. Introduction. Soit A =(A 0 ,A 1 ) un couple d’interpolation com- plexe, au sens de [1]–[3]. Soit S = {z ∈ C;0 ≤ Re z ≤ 1}. Rappelons d’abord la définition de l’espace d’interpolation A θ , où θ ∈ ]0, 1[. On note F ( A) l’espace des fonctions F à valeurs dans A 0 + A 1 , contin- ues bornées sur S , holomorphes à l’intérieur de S , telles que, pour j ∈{0, 1}, F (j + iτ ) prend ses valeurs dans A j , l’application τ ∈ R → F (j + iτ ) ∈ A j est continue et ‖F (j + iτ )‖ A j → 0 quand |τ |→ +∞. On le munit de la norme ‖F ‖ F ( A) = max(sup τ ∈R ‖F (iτ )‖ A 0 , sup τ ∈R ‖F (1 + iτ )‖ A 1 ). L’espace A θ = {F (θ); F ∈F ( A)} est un Banach [2, Theorem 4.1.2] pour la norme définie par ‖a‖ A θ = inf {‖F ‖ F ( A) ; F (θ)= a}. Rappelons maintenant la définition de l’espace d’interpolation A θ [2, Chapter 4]. On note G ( A) l’espace des fonctions g à valeurs dans A 0 + A 1 , continues sur S , holomorphes à l’intérieur de S , telles que g(j + iτ ) − g(j + iτ ′ ) ∈ A j pour tous τ,τ ′ ∈ R, j ∈{0, 1}, et la quantité suivante est finie : ‖g . ‖ QG( A) = max  sup τ,τ ′ ∈R τ =τ ′     g(iτ ) − g(iτ ′ ) τ − τ ′     A 0 , sup τ,τ ′ ∈R τ =τ ′     g(1+ iτ ) − g(1+ iτ ′ ) τ − τ ′     A 1  . Cette quantité définit une norme sur l’espace QG ( A), quotient de G ( A) par les fonctions constantes, et QG ( A) est complet pour cette norme [2, Lemma 4.1.3]. 2010 Mathematics Subject Classification : Primary 46B70. Key words and phrases : interpolation space, locally uniformly rotund. DOI: 10.4064/cm123-2-3 [197] c  Instytut Matematyczny PAN, 2011