ON ESTIMATING THE PERIOD OF A  CYCLIC POISSON  PROCESS ROELOF  HELMERS I  WAYAN  MANGKU CW I  Bogor Agricultural University We propose and investigate a simple nonparametric estimator of the period of a cyclic Poisson process. It is assumed that only a single realization of the Poisson process is observed in a bounded window. We prove consistency and establish a rate of convergence of the proposed estimator when the size of the window expands. 1.  Introduction and main result Let  X denote a cyclic Poisson point process defined on a probability space ( ,*4, P), with absolutely continuous σ finite mean measure μ w.r.t. Lebesgue measure v and with (unknown) locally integrable intensity func tion  λ: R —> R +  U {0}, i.e., for any bounded Borel set B, we have μ(B)  = J B X(s)ds < oo. In addition, λ is cyclic (with period r), i.e., for some r G  R+ (1.1)  X(s + kr) = X(s) for all s G  R and k  E  TL. The period r is assumed to be unknown. Suppose that, for some ω G , a single realization  X(ω)  of the Pois son  point process X is observed, though only in a bounded interval (called window)  W  C R. Since λ is locally integrable, the Poisson point process X always places only a finite number of points in any bounded subset of R. In order to investigate the consistency of an estimator of  τ  we let the window W  depend on "time"  n = 1, 2,..., in such a way that  \W n \  — •  oo, as n — •  oo, where \W n \  denotes the size (or Lebesgue measure) of  W n .  In this set up, a necessary condition for the existence of a consistent estimator (of r) is that J R  X(s) ds = EX(R) = oc, which implies that  P almost surely the point pattern  X{u)  contains infinitely many points (cf. Rathbun and Cressie, 1994). Note that for cyclic λ the requirement  J^X(s)ds = oo is automatically satisfied, provided the global intensity θ — τ~ ι  / Q r  X(s) ds of the process X is positive. Therefore we will assume throughout that  θ > 0. The aim of this paper is to propose and investigate a simple nonpara metric estimator τ n  of the period r of a cyclic Poisson process X, using a single realization  X(ω)  of X, observed in the window W n .  Let θ denote the parameter space,  τ £ θ,  and let Θ be a bounded open interval in R+ , such that  no multiple of  τ  is contained in Θ. Our estimator τ n  of r is obtained as follows: for any δ G  θ , define